Un peu de \(\mathbf{e}\)-magie !

Dominique Souder est bien connu pour les tours de magie qu’il nous propose régulièrement. Cette fois-ci¹, le magicien présente un mystérieux programme de calcul qu’il va soumettre aux spectateurs, équipés pour l’occasion d’une calculatrice scientifique.

Dominique Souder

© APMEP mars 2023
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Déroulement

Le magicien écrit sur un papier un nombre avec cinq chiffres après la virgule. Il replie le papier et le laisse traîner sur la table.

Calculatrice en main et en cachette du magicien, chaque spectateur doit :

• saisir un nombre entier de sept chiffres à mémoriser ;

• afficher son inverse ;

• ajouter 1 ;

• élever le résultat à la puissance du nombre choisi au départ.

Après que chaque spectateur a finalisé son calcul, le magicien déplie son papier.

Stupeur dans le public, chaque spectateur peut lire les six premiers chiffres qu’affiche sa calculatrice : 2,718 28. Le magicien avait prédit le résultat avec une précision allant jusqu’au cinquième chiffre après la virgule ! Avec un public non averti, les maths c’est magique mais nos élèves soupçonnent vite qu’il y a un truc… Auront-ils identifié \(\mathrm{e}\) ? Pas si sûr car, si le nombre \(\pi\) est bien connu des collégiens, \(\mathrm{e}\) ne l’est pas. Certains élèves de lycée ne le rencontreront jamais. D’autres le verront en spécialité Mathématiques de la classe de Première.

Explication

Dans notre tour, tout repose sur la propriété mathématique suivante : \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n=\mathrm{e}.\]

Une calculatrice scientifique², ou Web2.0calc , donne une idée de la rapidité de la convergence de cette suite vers \(\mathrm{e}\) :

Le plus petit entier de sept chiffres (1 000 000) fait apparaître cinq décimales exactes, et pour des entiers supérieurs, cette précision peut être encore meilleure car la suite est croissante.

Par exemple pour le nombre 9 876 543, on trouve comme résultat 2,718 281 692 146 448 6 où six décimales sont justes.

Une justification mathématique plus poussée, portant sur les développements limités et donc de niveau post-bac, figure dans le fichier MATHéMAGIE #30 [1].

Avec l’introduction des suites numériques en Première et la notion de limite (réellement étudiée en Terminale), on peut évoquer que \(\mathrm{e}\) peut être défini comme la limite à l’infini de \(\left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\cdotp\)

Un programme en Python pourra déterminer le seuil à partir duquel un entier donné au départ permet d’obtenir les cinq premières décimales.

Suggestion d’utilisation

Ce tour pourrait par exemple être une première approche du nombre d’Euler \(\mathrm{e}\) qui vaut environ 2,718 281 828 459 045.

Les élèves en spécialité mathématiques de Première générale découvrent la fonction exponentielle de base \(\mathrm{e}\) quand ceux de Terminale technologique étudient les fonctions exponentielles de base \(a\) dans le tronc commun puis celle de base \(\mathrm{e}\) dans certaines spécialités.

On peut trouver facilement une valeur approchée de \(\mathrm{e}\) grâce à la touche « e » de la calculatrice .

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Enseignant retraité, pionnier en France des animations autour de la magie mathématique, Dominique Souder propose aussi des sessions de formations à ce domaine.