Calculer ou faire parler les nombres ?

Complément numérique de l’article paru dans le n° 549 d’Au fil des maths.

Éric Trouillot

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© APMEP Septembre 2023

Shut the box au cycle 1 / cycle 2

Le principe est à la fois très simple et d’une redoutable efficacité.

Chaque joueur dispose devant lui de targettes avec des nombres de \(1\) à \(10\) (il existe aussi des versions avec des nombres de \(1\) à \(9\) ou de \(1\) à \(12\)). Le but est de baisser le premier toutes ses targettes.

Les nombreux collègues qui utilisent Shut the box avec régularité en CP et CE1, voire dès la grande section, confirment des progrès dans l’automatisation des décompositions du \(10\). Ce type de gymnastique installe une relation amicale avec les nombres et, par sa règle, les allers-retours entre calcul direct et calcul à l’envers sont permanents. Le constat est surprenant, voire paradoxal, c’est la régularité et la répétition de recherches de décompositions d’entiers de \(2\) à \(12\) qui finalement permettent au cerveau de stabiliser et d’automatiser les résultats de \(9+1\) ; \(8+2\) ; \(7+3\) ; \(6+4\)…

Vous retrouverez une présentation complète de Shut the box avec des variantes, des conseils pratiques et des commentaires pédagogiques sur ce billet de blog.

Duo / Trio au cycle 2 / cycle 3

Avec Shut the box, les décompositions sont additives avec des nombres entiers inférieurs à \(12\), le tout début de la gymnastique à l’envers.

• Montons une marche, Duo est une adaptation de Trio pour le cycle 2.
  Dans une grille 4 × 4 ou 5 × 5 voire 6 × 6 de nombres entiers de 1 à 9, grille aléatoire que chacun peut créer, il faut fabriquer un nombre-cible avec deux nombres.
  Et là, toutes les opérations sont disponibles. Duo est à dominante additive et multiplicative, mais en jouant sur la taille des nombres, la soustraction et la division peuvent s’inviter à la partie ! Le joueur est libre, il est acteur donc il parle aux nombres.

Sur ce site Duo, il est possible de modifier la taille de la grille et la valeur du nombre cible.

• Après la décomposition simple et basique avec deux nombres, complexifions clairement la situation avec des décompositions faisant intervenir trois nombres et donc deux opérations. Nous sommes désormais en fin de cycle 2 et en cycle 3. La grille classique Trio est une grille 7 × 7 et toutes les opérations sont possibles. J’ai pris un peu de liberté avec la règle initiale qui imposait une multiplication suivie d’une addition ou d’une soustraction. Il y a donc plus d’aléatoire avec plus de nombres dans la grille et plus de combinatoire avec le choix des opérations. Cette gymnastique est d’une très grande richesse pédagogique dans l’optique de créer des réseaux de nombres et de se construire un répertoire mental. C’est l’univers de Trio, désormais bien installé dans de nombreuses classes d’élémentaire et de collège. L’accroche des élèves est très forte car le cerveau adore la gymnastique combinatoire avec un habillage aléatoire que l’on retrouve dans la culture bien installée des mots croisés, mots fléchés. . .
  Trio est présenté dans les brochures Jeux 5 et Jeux 6 de l’APMEP ainsi que dans PLOT n^o 108.
  Sur ce site Trio, il est possible de modifier la taille de la grille et la valeur du nombre cible.

Vous retrouverez une présentation complète de Duo et Trio avec des variantes, des conseils pratiques et des commentaires pédagogiques sur ce billet de blog.

Mathador au cycle 2 / cycle 3 / cycle 4

Le point commun des trois jeux précédents est de pouvoir se pratiquer à l’oral et mentalement, l’écrit n’est pas un besoin. Je pratique Trio au collège de la Sixième à la Troisième depuis vingt-cinq ans, aucun élève ne m’a demandé de pouvoir écrire. Le cerveau semble pouvoir gérer mentalement deux ou trois nombres en les combinant avec des opérations.

Avec Mathador, on passe un cran supplémentaire dans la difficulté qui est d’ordre combinatoire plus que calculatoire. En effet, avec le lancer de cinq dés, l’élève dispose désormais de cinq nombres pour les combiner avec les quatre opérations afin de fabriquer le nombre-cible. L’écrit répond alors à un besoin. Il faut laisser un temps de recherche de trois à quatre minutes et demander une écriture en ligne des opérations. La différenciation est naturelle par le fait que chacun calcule avec ses connaissances et ses habitudes. Un élève en difficulté dépassera difficilement deux lignes de calcul, soit l’équivalent d’un Duo ou d’un Trio. Puis, avec un peu d’aisance, de fluidité mentale et d’entraînement, arriveront les solutions en trois ou quatre lignes de calcul. À la suite de la recherche, la période d’échanges et d’explicitation des différentes procédures est très importante pour découvrir de nouvelles pistes. C’est ensuite la répétition et la régularité qui vont permettre à chacun d’enrichir ses pratiques et son propre répertoire. Avec un nombre-cible inférieur à \(100\), la consolidation des tables de multiplication est permanente.

À noter l’intérêt du système de points attribués aux opérations utilisées dans la version Flash et en numérique, avec la version Chrono. Ce système est conçu de façon à inciter l’élève à utiliser la soustraction et la division qui sont des opérations contraires que le cerveau a naturellement tendance à fuir. Enfin, le coup Mathador, soit l’utilisation des cinq nombres avec les quatre opérations utilisées chacune une fois rapporte le maximum de points dans la règle. L’idée centrale avec ces points et le coup Mathador est d’inciter à complexifier les calculs de façon à enrichir les liens entre les nombres, notamment soustractifs et « divisifs », et donc d’étendre son répertoire mental.

Vous retrouverez une présentation complète de Mathador Flash avec des conseils pratiques et des commentaires pédagogiques sur ce billet de blog.

Sitographie

1. Rapport Torossian-Villani.

2. Diaporamas cycle 3 de l’APMEP.

3. Diaporamas calcul mental du CP au CM2 circonscription Landivisiau.

4. Logiciel en ligne pour créer des diaporamas de calcul mental.

5. Canopé. Capsule vidéo présentant un diaporama calcul mental, Trio et Mathador en classe de Sixième.

6. Shut the box en ligne.

7. Duo en ligne.

8. Trio en ligne.

9. Mathador Chrono en ligne.

10. « Calcul@tice » en ligne.

11. Blog Mathador avec des billets sur la didactique du calcul mental et de nombreux jeux.

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Éric Trouillot est professeur au collège Victor Hugo à Besançon. Il est également le créateur du jeu Mathador.