Barycentres (suite 10)

© APMEP Juin 2020

2.6 Courbes de Bézier

Ce thème est abondamment documenté ([24], [25] et [26]). On se contente ici de l’introduire en faisant le lien avec notre fil rouge. On se place dans le plan \(P\), au besoin dans \(\widehat{P}\). Le but du concepteur (Pierre Bézier !) est de construire un outil permettant de tracer des courbes paramétrées régulières susceptibles d’être facilement modifiées pour satisfaire à des exigences de nature diverses, esthétiques ou techniques, par exemple simples à programmer sur une machine à commande numérique. L’idée de départ est que, si les masses d’un système de points massifs sont des fonctions d’une variable, leur barycentre est variable et décrit, sauf pathologie, une courbe; cette courbe peut être modifiée en déplaçant les points considérés.

À la base, on a deux points \(\mathsf{C}_0\) et \(\mathsf{C}_1\); on introduit le barycentre variable \(\mathsf{M}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_0+t\,\mathsf{C}_1\) avec \(t \in ]0\,;\,1[\). \(\mathsf{M}(t)\) décrit le segment \([\mathsf{C}_0\mathsf{C}_1]\). Le déplacement des extrémités permet d’obtenir le tracé de n’importe quel segment.

Ensuite, prenons trois points \(\mathsf{C}_0\), \(\mathsf{C}_1\), \(\mathsf{C}_2\) (non alignés). On introduit \(\mathsf{C}_{01}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_0+t\,\mathsf{C}_1\) et \(\mathsf{C}_{12}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_1+t\,\mathsf{C}_2\) et enfin \(\mathsf{M}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_{01}(t)+t\,\mathsf{C}_{12}(t)\); on a alors \[\mathsf{M}(t)=(1-t)^2\,\mathsf{C}_0+2\,t\,(1-t)\,\mathsf{C}_1+t^2\,\mathsf{C}_2.\] \(\mathsf{M}(t)\) est ainsi barycentre des points de contrôle avec des masses qui sont des polynômes obtenus en développant \(\left((1-t)+t\right)^2\).

La courbe obtenue est un arc de parabole.

Dans le repère \(R\left(\dfrac{1}{2},
\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{C}_0\mathsf{C}_2\mkern2mu},
\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{C}_1\mathsf{C}_0\mkern2mu}+\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{C}_1\mathsf{C}_2\mkern2mu}\right)\right)\), une équation cartésienne de l’arc est \(y=x^2\). Pour comprendre d’où sort ce repère, il suffit de savoir qu’en prenant l’origine sur la parabole, l’axe des abscisses tangent et l’axe des ordonnées conjugué de l’axe des abscisses et les vecteurs de sorte que le point \((1,\,1)\) soit sur la parabole, l’équation (réduite) est \(y=x^2\).

Elle est contenue dans le triangle \(\mathsf{C}_0\mathsf{C}_1\mathsf{C}_2\) et le segment \([\mathsf{C}_{01}(t)\mathsf{C}_{12}(t)]\) est tangent à l’arc en \(\mathsf{M}(t)\); en effet

\[\begin{aligned}
\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{M}’\mkern2mu}(t)&=-2\,(1-t)\,\mathsf{C}_0+2\,(1-2\,t)\,\mathsf{C}_1+2\,t\,\mathsf{C}_2\\
&=2\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{C}_{01\mkern2mu}(t)\mathsf{C}_{12}(t)}\end{aligned}\]

l’arc est donc l’enveloppe de ces segments.

La construction récursive précédente se généralise à \(4\), \(5\), \(n\) points de contrôle et permet d’obtenir des arcs de courbes algébriques de degré \(3\), \(4\), \(\dots\), \(n-1\), donc riches de formes. L’un des principes du tracé par courbes de Bézier est la concaténation d’arcs; on peut ainsi obtenir des formes complexes (comme celle d’une lettre cursive). On trouvera dans l’article de Daniel Perrin [27] un exposé théorique concis mais complet pour un premier contact.

Les LGD permettent de construire une courbe de Bézier dynamique, modifiée en temps réel en déplaçant les points de contrôle et cela sans nécessiter une grande maîtrise du logiciel. Dans [28] ou [29], notre collègue Loïc Le Corre propose une utilisation des courbes de Bézier en typographie.