Prenons l’exemple d’un jeu de cartes avec deux faces : sur l’une une addition, sur l’autre le résultat de cette addition. L’élève doit choisir une carte, lire l’addition, calculer le résultat de cette addition avant de retourner la carte pour vérifier si son calcul est exact.

Lors de cette manipulation, il y a bien un mouvement d’objets physiques (la carte est retournée), mais le lien entre ce mouvement et les concepts en jeu est indépendant de la somme en question. Le mouvement serait identique avec \({4}+{3}\) au recto et \({7}\) au verso. Ces manipulations sont distinctes des précédentes : leur objectif est de déclencher l’activité mentale de l’élève, peu importe que ce soit sa mémoire, un calcul ou un raisonnement qui produise l’association attendue. On pourrait appeler ces manipulations, « manipulations désincarnées », mais cela serait un terme trop péjoratif et ne rendrait pas compte de leur utilité. Choisissons plutôt, le terme de manipulations « catalysatrices », pour décrire leur fonction d’accélération d’une réaction mentale qui se joue ailleurs.

S’il est nécessaire de s’appesantir sur cette distinction apparemment simple et évidente, c’est qu’elle n’est pas vraiment partagée, et que les observations en classe ou dans les manuels montrent que l’on appelle indifféremment manipulations, des activités qui sont finalement très différentes pour les apprentissages.

Une simple recherche sur l’internet montre ce que les enseignants plébiscitent quand il s’agit de manipulations. Quand on entre dans un moteur de recherche les termes « \(\textsf{mathématiques}+\textsf{CM2}+\textsf{manipulations}\)», le résultat est sans appel : les manipulations proposées sont presque uniquement des manipulations « catalysatrices ». Et parmi celles-ci, on observe une prépondérance de leçons à manipuler.

Dans la suite de ces réflexions, on évoquera toujours — à moins d’une mention explicitement contraire — les manipulations incarnées.

De la manipulation à l’abstraction

La manipulation est l’occasion d’une réflexion sur l’abstraction : les objets matériels sont présentés comme concrets, et les symboles comme abstraits. C’est, à mon avis, un raccourci malheureux qui a des implications didactiques importantes, notamment dans la résolution de problèmes.

On retrouve ce raccourci dans la présentation des enjeux de manipulations que l’on trouve dans le manuel qui s’inspire de la méthode de Singapour. Citons un groupe d’enseignants⁴ qui présente cette méthode :

L‘approche « concrète-imagée-abstraite » : chaque notion est abordée sous un angle concret à l’aide de situations de la vie courante, de cubes, de bâtons, de jetons… Les élèves manipulent (étape concrète), puis schématisent à l’aide de ronds et de barres (étape imagée). Ils utilisent enfin la représentation par des symboles (étape abstraite)⁵.

Si je partage l’intention pédagogique de ces enseignants comme de cette méthode, notamment la volonté de commencer par des manipulations avant d’aller trop rapidement vers des écritures symboliques, je m’en distingue par l’analyse de l’abstraction. À mon avis, il y a une confusion qui est faite entre l’abstraction et l’immatérialité.

Dans le tableau ci-dessous, on voit qu’il y a deux axes distincts et qu’un objet physique singulier peut être la rencontre avec un concept abstrait.

	Axe de la dématérialisation \(\longrightarrow\)
Axe de l’abstraction —>	Mon chat	Une photo de mon chat	Un souvenir de mon chat
	Un chat	Une photo de chat	Un souvenir de chat
	Un félin	Une photo de félin	Un souvenir de félin

Ainsi une image ou un processus mental n’est pas nécessairement plus abstrait qu’un objet physique : tout dépend de ce qui est en jeu avec cette image ou ce processus mental. Ceci est important pour préciser le statut de la manipulation. Elle n’est pas le premier niveau du chemin vers l’abstraction. Il y a plus d’abstraction dans certaines manipulations que dans certaines images.

Ceci peut être illustré simplement dans la résolution d’un problème arithmétique :

« J’ai 4 pommes rouges et 2 pommes vertes, combien ai-je de pommes en tout ? ».

Le problème peut être proposé en classe avec de vraies pommes.
Il peut aussi être présenté avec une image des pommes.
Ou enfin, avec des cubes qui ne sont pas nécessairement de la même couleur que les pommes.
Ou avec des réglettes ! ! !

Les deux dernières approches (par les cubes ou les réglettes) sont matérielles mais elles sont des approches abstraites, car elles sont une reprise du problème en ne gardant que ce qui est important : le nombre. Dans ces approches, on a fait abstraction de la nature du fruit ou de sa couleur. Un autre problème avec des poupées ou des chapeaux se résoudrait de manière identique. En revanche, l’image des 4 pommes rouges et des 2 pommes vertes est encore une représentation très proche de la singularité du problème. Elle n’est pas du tout abstraite, même si elle est moins matérielle que les cubes ou les réglettes.

Bref, on peut penser qu’il sera plus facile pour l’élève de passer de cette étape matérielle-abstraite donnée par les cubes à une représentation symbolique que de l’image vers la représentation symbolique.

	\(\xrightarrow{\rule[-5pt]{0pt}{5pt}\textstyle\text{Dématérialisation sans abstraction}}\)
Abstraction matérialisée		Transition difficile
	\(\xrightarrow{\rule[-5pt]{0pt}{5pt}\textstyle\text{Transition facile}}\)	\({4}+{2}\)

La manipulation n’est pas un obstacle vers l’abstraction mais au contraire une mise en scène des nombres en jeu et de leurs relations. En revanche un dessin, même schématique, peut garder plusieurs déterminations non essentielles et il est souvent très long à réaliser par un élève. Dans la solution du problème que propose Édouard (source CRPE), la représentation proposée est trop incarnée pour être efficace. Le même problème avec 120 nageurs mettrait en difficulté Édouard.

Réglettes en résolution de problème en CM1/CM2

Afin de mieux illustrer la puissance de ces abstractions matérialisées, explorons une utilisation possible des réglettes Cuisenaire en résolution de problème⁶.

On donne le problème suivant à des élèves connaissant déjà les réglettes pour les avoir utilisées en numération et en résolution de problème. Pendant que l’enseignant lit l’énoncé, étape par étape, repérées par les lettres de A à F, les élèves modélisent la situation avec leurs réglettes.

A. Janice a parcouru . . . km à vélo.	B. Aïcha a parcouru le double.	C. Et Jeanne la moitié.
Le premier point qui interpelle est que les élèves ne sont pas gênés par le manque de valeur. Ils vont choisir une réglette pour représenter la distance parcourue par Janice. Tous ne choisissent pas la même.	Les élèves posent les réglettes qui expriment la relation entre les nombres.	Ils continuent de poser des réglettes.
D. Quant à Samy il a fait le quadruple de la distance de Janice.		F. Janice a parcouru 36 kilomètres.
Toujours pas de valeur numérique. Les élèves continuent avec les réglettes.	À ce moment de l’énoncé, certains choix de réglettes pour Janice ne conviennent plus. Les élèves concernés ont alors changé la réglette représentant la distance parcourue par Janice et ont recommencé depuis le début pour faire correspondre à cette nouvelle réglette celles représentant les distances parcourues par les autres.	La recherche des valeurs ne dépend plus, à ce stade, de la capacité à résoudre un problème, mais des connaissances en calcul mental.

Le passage au tableau est schématisé avec des barres puisque :

• les élèves ont utilisé des réglettes différentes pour une résolution correcte ;

• la couleur, de ce fait, n’importe pas.

Cette résolution de problèmes illustre la puissance du modèle en barres⁷, et l’efficacité de l’utilisation des réglettes pour décrire les relations entre les longueurs. Cette représentation permet la réussite des élèves.

C’est bien le prolongement d’un travail qui aura été fait sur les fractions. Voici quelques exemples d’activités que l’on peut faire en classe avec cet outil.

Les fractions

Pour compléter, voici, présentées dans l’ordre où elles apparaissent, quelques activités sur les fractions à mener avec les réglettes Cuisenaire. Elles sont tirées du livre Manipuler pour comprendre au cycle 3 [6].

Une première série d’activités consiste à associer le vocabulaire relatif aux fractions, comme « le tiers », « le quart », « le cinquième », « le dixième », etc., avec des représentations produites avec des barres. Pendant cette première série, la notation des fractions est volontairement mise de côté. La question est alors de trouver la réglette qui correspond à la fraction énoncée (exemple 1).

Ce travail se poursuit avec l’introduction de l’écriture fractionnaire (exemple 2).

Puis on peut alors alterner les demandes : trouver la réglette qui correspond à une fraction ou, inversement trouver une fraction qui correspond à une réglette posée sous l’unité (exemple 3).

Les manipulations peuvent se poursuivre avec les différentes compétences sur les fractions attendues en fin de cycle 3. Les réglettes permettent d’illustrer les compléments à l’unité d’une fraction, elles aident à repérer une fraction sur une droite graduée. Elles permettent également d’encadrer une fraction par deux entiers consécutifs…

Elles permettront enfin de travailler l’écriture décimale. Pour cela, il sera utile de se fabriquer une réglette d’un mètre et de la définir comme unité. La réglette orange et la réglette blanche représenteront alors le dixième et le centième de l’unité.

Pour conclure

Ce dernier exemple a permis de se rendre compte que les réglettes permettent des manipulations pertinentes et incarnées pour le cycle 3 et même pour les élèves du cycle 4. D’ailleurs de nombreux professeurs de collèges adoptent spontanément les réglettes quand elles leur sont présentées. C’est un outil riche et les quelques exemples présentés ici n’en épuisent pas les possibilités.

Le matériel dédié est un matériel conçu pour faire comprendre les concepts mathématiques. Maria Montessori [7]  définissait ce matériel comme une « abstraction matérialisée » : des outils qui font abstraction de toutes autres déterminations. Mais surtout, ce matériel est conçu pour être manipulé, de telle sorte que les déplacements opérés soient en correspondance avec des idées mathématiques, ce que j’ai appelé manipulations incarnées.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Olivier Le Dantec est formateur de mathématiques à l’INSPÉ de Nice. Il a écrit et dirigé, chez Nathan, les deux ouvrages Manipuler pour comprendre au cycle 2 et Manipuler pour comprendre au cycle 3.