Complément d’enquête sur …
les compétences en calcul à l’entrée dans le supérieur

François Boucher

© APMEP Mars 2021

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Dans cet addendum numérique à l’enquête parue dans Au Fil des Maths, sont fournis quelques développements, des exemples de travaux posés à l’étudiant standard et quelques commentaires bibliographiques.

Il est sans doute utile de préciser l’origine de cette enquête. Le déclencheur est la réforme des classes préparatoires scientifiques1 de 1995 qui voit, dans la foulée de la disparition des terminales C et E, la création des classes PCSI et PTSI à côté des classes MPSI (les deux premières lettres de ces acronymes indiquant les dominantes de la filière). Durant la décennie 1985-1995 le nombre de bacheliers scientifiques a quasiment doublé et l’ouverture de classes préparatoires dites de proximité dans une petite préfecture d’un département rural y a vu arriver des nouveaux lycéens au profil franchement différent des précédents étudiants de math-sup , étudiants plutôt dépourvus de méthodes de travail – mais pas de bonne volonté – et aux connaissances et techniques de calcul incertaines – mais ne manquant pas d’envie d’apprendre.

Une recherche-action, prématurément interrompue par la disparition des MAFPEN2, a produit une étude partielle de recension des problèmes (non publiée). Le travail de réflexion ainsi originé a trouvé un aboutissement fort tardif, en 2011, lors de la création, dans le lycée de l’auteur, d’une classe préparatoire aux études supérieures (CPES), classe de transition entre le lycée et le supérieur, ouverte aussi aux bacheliers technologiques, dont il a fallu concevoir les programmes ; il est alors apparu nécessaire – entre autres choses – de tenter préciser ces fameuses compétences calculatoires attendues au supérieur.

La question étudiée peut alors être ainsi formulée : identifier certaines compétences utiles à une pratique efficace des calculs, et, puisqu’il s’agit d’agir, déterminer quels travaux proposer à notre étudiant, supposé volontaire, mais en tenant compte du temps très contraint dans ces classes. Le sujet est étroit et manque un peu de noblesse . Pourtant l’essentiel des compétences visées figurent dans le socle commun.

Quelques observations

Dans la suite, l’expression étudiant standard désignera l’étudiant (ou l’étudiante) d’une CPGE de proximité, qui réussira, mais en queue de classement, une des écoles nationales supérieures d’ingénieurs (aujourd’hui regroupées dans le concours commun polytechnique ) ou intégrera, plus aisément, une école du réseau Polytech recrutant sur le concours E3A3.

Cet étudiant standard fait partie des 10% de bacheliers S admis dans ces classes ; il a obtenu tout au long du millier d’heures de sa scolarité secondaire des résultats satisfaisants et a le sentiment d’avoir bien compris l’essentiel des programmes du lycée, éventuellement en minimisant son investissement ; il a souvent une bonne mention au bac. Vu du supérieur à travers son dossier, cet étudiant a le profil. Il intègre – avec le trac mais une fierté certaine – une filière dans laquelle l’entraide est forte, et la bienveillance pédagogique des enseignants la règle ; certes, les évaluations sont sévères mais c’est bien une filière de la réussite ; notre étudiant a 8 chances sur 10 d’intégrer une des 180 écoles d’ingénieurs délivrant un diplôme reconnu par la commission des titres4 et il le sait parfaitement.

Mais voilà : aussi surprenant que cela paraisse, la trajectoire d’un tel étudiant n’est absolument pas inscrite dans son cursus antérieur : il n’y a guère de corrélation entre ses résultats au lycée et ceux aux concours. Le déterminant principal de la réussite dans ces filières est à chercher ailleurs, certainement dans des qualités individuelles pas évaluées ou peu sollicitées au lycée et aussi dans l’élaboration d’un projet de formation motivant5.

Et la situation en classe est parfois consternante pour l’enseignant qui observe que son étudiant peut être à la peine sur des tâches fort élémentaires : calculer sur les puissances de dix, diviser deux fractions, manipuler correctement des parenthèses emboîtées surtout celles précédées d’un signe \(-\) , re-connaître une identité remarquable, retrouver une ligne trigonométrique oubliée, dessiner, à main levée mais avec précision, le graphe d’une fonction usuelle ; il arrive même que \(\ln\) ou \(\exp\) deviennent linéaires. Avec une constance admirable, le formulaire est globalement incertain ; les confusions sont parfois ahurissantes jusqu’à confondre dérivée et primitive. Pourtant, sur sollicitation, les règles de calcul sont plutôt connues mais pas toujours appliquées, pas toujours bien identifiées, encore moins correctement nommées et à l’évidence aucune validation de ces règles n’est connue.

Les propos alarmistes sur le calcul ne datent pas du XXI siècle ; ne citons que Jean Dieudonné qui ouvre la préface de son célèbre calcul infinitésimal (1968) par un tonitruant : les étudiants d’aujourd’hui ne savent plus calculer . On peut railler ce marronnier, mais cela indique au minimum que l’apprentissage du calcul n’a jamais été chose facile, y compris il y a un siècle quand moins de 3% d’une classe d’âge obtenait le baccalauréat.

Tous ces problèmes, relatifs au versant technique du calcul et concernant de jeunes adultes sont difficiles à faire entrer dans les schémas conçus par les didacticiens : l’acquisition des techniques liées à de nouveaux calculs, dûment démontrées, se fait, laborieusement ; avec un peu d’aide à l’oral, de nombreuses bourdes sont corrigées ou évitées – un simple signe non verbal suffit – mais l’autonomie fait défaut et les compétences liées à l’auto-contrôle absentes : ah oui ! répète à l’envie notre étudiant standard qui traverse les décennies, indifférent aux changements de programme et à leurs documents ressources : la maîtrise du calcul reste un objectif de base de l’enseignement des mathématiques annonçait le document d’accompagnement des programmes de terminale de 2002.

Un deuxième constat posait (et pose toujours) un problème critique : l’extrême lenteur d’effectuation du moindre calcul. Sans s’illusionner sur la valeur du résultat observé, l’auteur a réalisé plusieurs années, dans une classe d’une quarantaine d’étudiants, un petit test sur un problème typique : quelque temps après l’étude de la méthode de Gauss de résolution des systèmes linéaires, la durée médiane de résolution sans erreur d’un système \(3 \times 3\) déterminé, à coefficients entiers (et de déterminant 1 pour pouvoir éviter – à condition d’en avoir l’intention – la pollution des calculs par des fractions) est d’au moins une demi-heure, le tout pour effectuer une dizaine de multiplications et d’additions sur des petits entiers ; et une partie des étudiants procède encore par substitution, ceci expliquant – en partie – cela. D’une façon générale, ils utilisent des procédures de calcul très fragmentées pour être très simples ; il arrive que notre étudiant écrive sans sourciller \(\frac{6}{3}\) ou \(4\,y-y\). Faire mentalement une opération élémentaire sur une ligne de 4 termes n’est malheureusement pas une opération élémentaire. Rappelons que cette technique fut dans les années quatre-vingts au programme des lycées.

Enfin, un autre problème est de nature psychologique ; notre étudiant est un jeune adulte qui ne se sent pas a priori en situation d’échec dans la discipline ; ses pratiques de calcul, quelles qu’en soient les insuffisances, lui ont antérieurement réussi et il lui est difficile de lâcher la proie pour l’ombre, d’autant plus que des difficultés d’une autre nature s’annoncent et vont s’accumuler. La confiance en soi est fragile, l’encouragement est de rigueur.

Alors que faire ? Deux écueils sont à éviter : réduire l’apprentissage du calcul à des exercices d’entraînement, voire de «  musculation « , et réduire la source des erreurs de calcul à la seule ignorance des règles ou à un défaut pathologique d’attention . Ne pas réduire ne signifie pas ignorer : le contenu du millier annuel de copies corrigées l’interdit. Mais il s’agit plutôt d’aider notre étudiant à penser de façon avancée sur des objets et des concepts simples en lui proposant des tâches non triviales dans lesquelles la manifestation de la compétence est substantiellement laissée à sa charge, individuellement ou collectivement : produire un résultat n’est pas nécessairement l’objectif principal. Il est certain que même les meilleurs étudiants manquent de pratique, de fluidité, osons dire d’automatismes, probablement pas assez confrontés à des situations exigeant autre chose qu’une pensée calculatoire désinvolte.

Un choix didactique bien partagé, semble-t-il, dans la communauté des enseignants de cette filière, repose sur l’idée que c’est la diversité des objets mathématiques rencontrés – étudiés à la fois pour eux-mêmes (un peu trop) et comme outil (pas assez) – diversité couplée à la consistance des problèmes proposés qui va permettre, plus ou moins naturellement , à ces étudiants de dépasser l’état de calculateur chaotique . La mathématisation, enfin décomplexée, des diverses disciplines scientifiques s’avère un auxiliaire précieux au développement du sens des écritures6. Ceci dit, on peut choisir de ne rien faire de spécifique : à l’étudiant de faire face, comme souvent dans l’enseignement supérieur (ce qui n’est pas scandaleux).

Ce travail sur le calcul s’inscrit dans la durée et ne peut guère s’envisager qu’au fil de l’eau , par petites touches, au hasard de situations quelquefois sciemment provoquées ; les occasions pertinentes ne manquent pas en classe préparatoire : interrogations orales, travaux dirigés avec passages au tableau fréquents, nombreux devoirs et feuilles d’exercices (nécessairement corrigés !), gros besoins techniques dans les autres disciplines et, clé majeure de la réussite, l’investissement des étudiants, d’autant plus remarquable qu’un étudiant de PCSI doit travailler cinq matières scientifiques. Il est indéniable que, fruit d’un labeur considérable, l’étudiant standard progresse au cours de ses années de préparation et, qu’à la fin, les opérations élémentaires le sont un peu plus ; mais c’est moins flagrant des compétences.

Un échantillon de travaux proposés au fil des années

Les exemples présentés ci-après ont été utilisés à différentes époques en différents lieux. La majorité est de nature algébrique7 et, plus modestement, fonctionnelle pour rester proche des programmes de lycée ; les probabilités, source de nombreux calculs, n’ont été introduites qu’en 2013. Redisons que l’objectif est bien une compétence, mais qu’il est espéré – sinon à quoi bon des compétences – que la technique en bénéficie ; et réaffirmons l’utilité de préciser aux étudiants les objectifs poursuivis. Enfin, ces questions sont ici présentées hors-contexte.

Expliciter les règles

Parmi les critiques faites à l’enseignement de l’algèbre au niveau du secondaire, on trouve fréquemment l’accumulation du non-dit, du non-explicité, du non-démontré favorisant l’incompréhension ou pire, l’élaboration par les élèves d’explications très personnelles. Se préoccuper de la bonne perception du pourquoi et pas seulement du comment est pertinent à tous les niveaux. On peut même aller plus loin par la pratique du discours méta , c’est-à-dire en apportant des connaissances – éventuellement de nature épistémologique ou didactique – sur les connaissances visées8.

Il ne s’agit pas de dérouler la trilogie groupes, anneaux, corps mais résoudre une équation aussi simple que \(-5\,x+6=x+4\), dans \(\mathbb{D}\) puis dans \(\mathbb{Q}\), en détaillant et en nommant, à chaque étape, la propriété utilisée est une expérience chronophage mais cruciale. Notre étudiant standard, lorsqu’il est en mode automathique ne voit que des termes qui passent à gauche ou à droite, ou qui montent ou descendent , ou qui changent de signe …  Ce travail sera refait avec d’autres objets et d’autres opérations afin qu’il prenne conscience de la nécessité d’identifier en temps réel les propriétés utiles à la conduite de son calcul.

L’exercice suivant a été improvisé en cours, un jour de grand agacement provoqué par l’usage abusif des calculatrices ; il fut ensuite régulièrement utilisé.

Calculer \(23 \times 578\) de tête, vous avez 30 secondes ! Puis, 30 secondes plus tard, avec l’indication : déterminer un par un les chiffres successifs du produit en commençant par celui des unités. Ensuite, développer, sans calcul intermédiaire écrit, le produit \((2\,x+3)(5\,x^2+7\,x+8)\). Quelles sont les propriétés qui valident ces deux calculs ? Quel rapport entre les deux calculs ?

Plus tard, la question \(123456789 \times 987654321 =\ ?\), avec calculatrice, apparaîtra innocemment.

Concentration, mémorisation et exécution d’un algorithme sont ici des composantes indispensables ; notre étudiant transpire, et rechigne car il sait faire autrement, sans se prendre la tête .

L’une des propriétés essentielles dans la résolution des équations est l’intégrité (dans un anneau). Voici quelques questions destinées à surprendre :

soient \(f = x \mapsto |\sin(x)|+\sin(x)\)9 et \(g = x \mapsto |\sin(x)|-\sin(x)\). Dessiner. Calculer le produit \(f \times g\) ; vérifier sur le dessin (ou dans l’ordre inverse). Qu’en déduire ?

La surprise n’est pas toujours au rendez-vous ; la pleine distinction entre \(f\) et \(f(x)\) d’une part et entre fonction nulle et fonction qui s’annule d’autre part est à venir. On peut aller plus loin en étudiant l’équation \(f \times h = 0\) (d’inconnue \(h\)).

Et, dès que le calcul matriciel est abordé10 la question :

résoudre l’équation \(X^2=I_2\) (puis \(X^2=0\)) dans l’ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans \(\mathbb{R}\).

Notre étudiant, qui a une attirance prononcée pour poser \(X=\left(\begin{smallmatrix} a & ; b \\ c & ; d \end{smallmatrix}\right)\), peine à résoudre correctement le système obtenu. Suggérer la réécriture \(X^2-I=0\), demander si cette question n’en évoque pas une autre, est nécessaire pour amorcer une discussion utile.

La recherche d’erreur

On a déjà insisté sur l’absence d’auto-contrôle autre qu’une relecture de surface du calcul effectué. Il faut admettre la grande difficulté à faire évoluer les pratiques ; la source est sans doute la disponibilité d’une seule méthode pour aborder un type donné de calcul.

Les questions qui suivent illustrent quelques attitudes recherchées qui n’ont rien de spontané ; on observera que les réponses à ce type de question nécessitent une démarche a priori (beaucoup) plus élaborée que l’application de règles de calcul, démarche nécessitant parfois un changement de cadre : c’est le raisonnement au service du calcul.

L’égalité \(\int_1^2\ln(1+\frac{1}{t^2}) \text{d}{t}=-\frac{\pi}{4}\) est fausse en évidence tout comme \(\int_1^2\ln(1+\frac{1}{t^2}) \text{d}{t}=\frac{\pi}{4}\) ; pourquoi ?

Le contexte d’un problème (ici non précisé) donne \(-\frac{5}{2}\), \(-0,1\) et \(2\) comme candidats racines réelles de l’équation \(x^5+2\,x+7=0\). Comment exclure, sans calculatrice, chacune de ces solutions avec un (des) argument(s) très simple(s) ?

On peut faire appel à des arguments sur le signe, les ordres de grandeur des candidats, des propriétés arithmétiques des candidats ou des éventuelles solutions, le sens de variation (avec ou sans dérivation) de \(x \mapsto x^5+2\,x+7\).

Détecter simplement l’erreur dans l’identité \((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3\,a^2b+3\,b^2\,c+3\,c^2\,a+6\,a\,b\,c\) de diverses façons.

On peut penser à la somme des coefficients, à la spécialisation d’une des indéterminées, au défaut de symétrie (par transposition), ou dériver deux fois par rapport à \(a\). Cette erreur est apparue au cours d’un TD de recherche d’une formule du trinôme, commise par un étudiant qui tentait de reproduire le raisonnement combinatoire utilisé pour la formule du binôme.

Le \(DL_3(0)\) \(\tan(x)\mathop{=}\limits_0 x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\) est faux (petite confusion classique). Détecter et corriger.

La calculatrice graphique valide le terme du premier ordre et permet de mettre en évidence la position erronée par rapport à la tangente à l’origine ce qui invalide le \(-\) ; ou, aussi bien, on peut faire appel à quelques évaluations pour \(x=10^{-n}\). Le prolongement du questionnement sur l’exactitude du DL corrigé \(\tan(x)\mathop{=}\limits_0 x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\) (erreur classique) a donné lieu à une rapide exploration numérique qui a permis de déterminer que le coefficient \(\frac{1}{6}\) était deux fois trop petit11.

La décomposition \(\frac{12}{(x-1)(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x+3}\) a la bonne forme mais est erronée. L’évaluation en \(0\) est inefficace pour conclure, mais celle en \(-1\) l’est ; les signes estimés sans calcul effectif pour \(x=3\) ne concordent pas ainsi que les ordres de grandeur pour \(x\) grand, par exemple \(x=1000\). Il est d’ailleurs utile de refaire ces tests sur le développement exact.

La dérivée \(\frac{\text{d}}{\text{d}{x}}\left\{\frac{x^2-2\,x+1}{(x^2+1)^2}\right\}=
\frac{2\,x^3-6\,x^2+4\,x+1}{(x^2+1)^4}\)
est (très) fausse.

Cette question peut revenir plusieurs fois en cours d’année pour mettre à l’épreuve des connaissances nouvelles. La calculatrice graphique permet de constater que signe de \(f’ ;\) et sens de variation de \(f\) ne correspondent pas ; on peut d’ailleurs se contenter de voir que \(f\) est décroissante au voisinage de \(0\) alors que \(f’ ;(0)=1\) ; \(1\) est racine double de \(f\) mais \(f’ ;(1) \neq 0 \) ; \(f’ ;(x)\) est strictement positif à l’infini mais \(f(x)\) tend vers \(0\) en étant positif ; le degré d’une fraction rationnelle diminue de \(1\) par dérivation, ou plus subtilement, si on reconnaît la forme \(u\,v^{-2}\), la dérivée est une fraction rationnelle dont le dénominateur réduit est \(v^{-3}\).

\(f\) et \(g\) désignent des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) ; si \(|f|=g\), alors \(g=f\) ou \(g=-f\) ; vrai ou faux ?

Cette question apparaît lorsqu’on primitive \(\frac{u’ ;}{u}\), en particulier lorsqu’on intègre les équations à variables séparables – déjà \(y’ ;=a\,y\) – pratique fréquente chez nos collègues physiciens.

La maîtrise du sens des écritures symboliques

L’introduction du calcul formel en CPGE en 1995 (avec des heures d’interrogation dédiées) a soulevé beaucoup d’intérêt. On y a vu, entre autres perspectives, un moyen idéal de travailler syntaxe et sens des écritures formelles, d’améliorer le va-et-vient entre le conceptuel et la technique (dûment assistée) en exploitant des situations difficiles d’accès à la main. Passé l’enthousiasme des premiers temps, il a bien fallu se rendre à l’évidence : l’étudiant standard, qui est à la peine avec la technique, découvre, désenchanté, que telle commande du logiciel – disons factor – ne lui renvoie pas magiquement la réponse attendue et qu’il lui faut mobiliser des connaissances donc réfléchir avant de pianoter, tout comme l’expert, et éventuellement lire la documentation (in english ? unthinkable !).

La question suivante est révélatrice du travail de réflexion nécessité par l’utilisation d’un système de calcul formel.

Factoriser au mieux \(a^n \pm b^n\) pour \(n=2,3,4,5\) dans \(\mathbb{Q}\), dans \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{C}\) (dans \(\mathbb{K}\) signifiant avec coefficients dans \(\mathbb{K}\)).

Typiquement, on voit notre étudiant se réfugier dans un comportement de type game boy : usage en rafale des commandes de réécriture du système utilisé. L’arrivée des calculatrices formelles n’a guère changé la donne, leur maîtrise restant le fait de quelques mordus. De là à penser que ces systèmes sont d’abord utiles aux experts, dont l’expertise a été acquise par d’autres moyens …

Il ne faut pourtant pas nier l’influence positive de la fréquentation de ces systèmes sur le rapport des étudiants au symbolisme – calculer ce n’est pas qu’appliquer mécaniquement des règles – et les réponses du système ont rarement la forme attendue. Ajoutons, surtout, l’intérêt mathématique des travaux pratiques qui ont été imaginés par la communauté. Mais, faute d’une évaluation pertinente aux concours, marque probable du désintérêt progressif des écoles, la parenthèse calcul formel s’est refermée, côté étudiant, en 2013.

Faisons encore une observation, sur un autre outil promu par l’institution : le tableur. Les perspectives offertes par son usage en matière d’enseignement du calcul et de l’algorithmique sont indéniables ; de nombreuses publications en attestent. Il ne semble pas pourtant que, dans leur ensemble, les enseignants de lycée se soient emparés de cet objet, faute sans doute d’une évaluation au baccalauréat12 ; et témoignons que notre étudiant n’a jamais manifesté de savoir-faire particulier dans son usage. On pourrait faire une observation similaire sur les logiciels de géométrie dynamique, eux aussi disponibles depuis quarante ans. La viabilité des objets informatiques est décidément bien compliquée, le papier-crayon a encore de beaux jours.

La question des écritures symboliques et des problèmes que leur usage révèle est, pour le moins, d’une grande complexité ; le nombre de thèses et d’articles de didactique, d’épistémologie, de logique, d’informatique – pour ne citer que ces disciplines – en atteste. Des groupes pluridisciplinaires de recherche sur les environnements informatiques pour l’apprentissage humain ont travaillé ou travaillent encore (SFIDA, projets Pépite et Lingot) et produisent des logiciels (Aplusix, AlNuSet) qui ne semblent pourtant pas plébiscités par les enseignants du collège. Faire une synthèse de tout cela n’est pas dans les compétences de l’auteur.

Les réécritures

Développer, réduire, ordonner, décomposer, simplifier, factoriser, mettre sous forme canonique : derrière ces verbes d’action on trouve des significations variables selon les contextes, avec parfois des implicites qui n’appellent pas nécessairement une réponse déterminée13. Notre étudiant n’a rencontré de façon significative que des situations simples (les programmes le demandent, le baccalauréat en atteste) nourrissant sans doute des comportements stéréotypés qui se sont en quelque sorte rigidifiés. On peut essayer de questionner ces comportements sans vouloir tout bousculer.

Les formes plus ou moins canoniques – adjectif polysémique au possible – d’écriture des objets mathématiques abondent : outre celles relatives aux nombres (entiers, décimaux, rationnels), citons la forme dite canonique des fonctions polynômes du second degré, si féconde, mais qui ne fait pas le poids devant saint \(\Delta\), et celle des fonctions homographiques – cas particulier de décomposition en éléments simples – ou encore la forme factorisée des polynômes scindés. Les reconnaissances de forme sont omniprésentes, tout le formulaire est mobilisable.

Il convient de freiner la propension à ne voir que des astuces là où il est plus utile de percevoir l’instance d’une idée, certes modeste, mais de portée générale donc d’une nécessaire réflexion14 ; lorsqu’on étudie la convergence d’une suite, la réécriture \(\ln(n+1)=\ln\big(n\,(1+\frac{1}{n})\big)= \ldots\) n’est pas qu’une astuce, elle est dictée par une intention ; lorsqu’on cherche à majorer \(|a-b|\) \(a,\,b> ;0\), la réécriture \(a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}\) peut être une piste pertinente, surtout si \(a\) est de la forme \(\sqrt{c}\).

Développer de tête \((x-a)(x-b)(x-c)\) est une question fétiche.

Demander de simplifier de tête l’expression \( \frac{\sqrt{ x^2+1}+\sqrt{ x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{ x^2-1}}+
\frac{\sqrt{ x^2+1}-\sqrt{ x^2-1}}{\sqrt{
x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}\)
vidéoprojetée provoque l’incrédulité. Demander quelle est la forme de l’expression ? En ne regardant pas de trop près… est un point de départ (et on éteint la vidéo).

La question développer \((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\) provoque naturellement l’utilisation de la formule du binôme (si elle est connue), trois fois bien évidemment ; un résultat est plus ou moins rapidement obtenu qu’on peut alors questionner : Peut-on plus simplifier ? ,comment vérifier ? , peut-on éviter l’utilisation de la formule du binôme ? .

Plus intéressante est la question factoriser \((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\) ; factoriser relève souvent d’une caractérisation classique pour les polynômes ; il s’agit ici d’inciter à s’interroger sur l’expression à factoriser. Il est amusant de voir notre étudiant, ne sachant pas quoi faire d’autre, développer l’expression et se retrouver a quia faute d’une bien modeste reconnaissance de forme.

Comment factoriser \( \left(x+\frac{p}{q}\,y\right)\left(x+\frac{q}{r}\,y\right)
\left(x+\frac{r}{p}\,y\right)
-\left(x+\frac{q}{p}\,y\right)\left(x+\frac{r}{q}\,y\right)\left(x+\frac{p}{r}\,y\right)\)
?

Ceci peut aussi se faire en développant, les termes en \(x^3\) s’annulant visiblement et ceux en \(y^3\) presqu’aussi visiblement. La question intéressante est d’obtenir ce résultat en exploitant au mieux la forme de l’expression et ses propriétés.

Soit \(a \in \mathbb{C}\) ; résoudre dans \(\mathbb{C}\), sans calcul, l’équation \(z^2-2\Re{a}\,z+|a|^2=0\).

Reconnaître somme et produit paraît simple ; mais \(\Delta\) occupe toutes les cases. Outre une identité remarquable qui va rejoindre le formulaire, le but est d’en déduire que tout complexe est un carré.

Simplifier de tête \(\left(\frac{u+\text{i}\,v}{1+\text{i}\,u\,v}\right)^2+\left(\text{i}\,\frac{u-\text{i}\,v}{1+\text{i}\,u\,v}\right)^2+
\left(\frac{1-\text{i}\,u\,v}{1+\text{i}\,u\,v}\right)^2\)
(\(u\),\(v\) réels).

Cette expression figurait dans un devoir maison autour de la projection stéréographique, prétexte à de nombreux calculs. La question a été ainsi posée par provocation lors de la correction.

L’exécution d’ algorithmes

Les algorithmes sont depuis 20 ans au cœur des programmes du lycée (et du collège) ce qui est certainement une bonne chose15. Vu du post-bac, l’influence sur les élèves n’est pas flagrante : l’utilisation spontanée comme outil des calculatrices programmables par les étudiants ne s’est pas propagée et reste l’apanage de mordus, sans doute plus nombreux aujourd’hui et plus agiles qu’hier. Mais notre étudiant standard a, lui, toujours les mêmes problèmes, bien basiques, dans l’écriture d’une boucle conditionnelle et n’arrive pas à faire, sans aide, les vérifications de base. Lors de l’introduction de l’IPT (informatique pour tous) en 2013, certains étudiants d’une classe d’un grand lycée d’une grande préfecture semblaient désemparés pour transposer – sur un exemple – l’algorithme du produit des décimaux au produit des dyadiques ; la pleine maîtrise exécutoire n’est pas manifestement pas suffisante. Mais les apprentissages se font, avec lenteur16.

Outre les calculs de nature numérique ou algébrique, la dérivation et la primitivation constituent des sources de calculs algorithmiques. Toutefois, en PCSI, le calcul des primitives est la partie massivement éliminée par les changements de programmes ; qui va s’en plaindre ?

On calcule une dérivée parfois parce qu’on s’intéresse à son signe. Dans ce cas, il convient d’orienter a priori son calcul vers une forme factorisée plutôt que développée. Inversement, l’étude du signe d’une fonction peut passer par l’étude de sa dérivée.

Étudier les variations de \(f=x\mapsto \text{e}^x-x^{\text{e}}\) est un grand classique. Il arrive que notre étudiant suggère, par l’efficacité d’une solide maïeutique, de s’intéresser à \(f’ ;’ ;\) pour avoir le signe de \(f’ ;\), puis après une itération bienvenue mais aveugle – c’est le cas de le dire – de \(f^{(n)}\) pour \(n=2,\,3,\,4,\,5, \ldots\) déclare que ça ne marche pas ! . Il ne suffit pas de calculer, il faut encore constamment se préoccuper de l’information fournie par telle ou telle expression.

Bien sûr, pour comparer \(a\) et \(b\), l’idée d’utiliser une fonction strictement monotone bien choisie \(f\) et de comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) est à mettre en place.

On a souvent besoin des dérivées successives, par exemple pour écrire une formule de Taylor ; pour cela, il est bien utile de connaître ou de retrouver rapidement, les dérivées \(n\) des fonctions usuelles, par exemple \(\ln(1+x)\). Notre étudiant éprouve parfois une double peine : pour calculer successivement, sans erreur, \(\frac{1}{1+x}\), \(\frac{-1}{(1+x)^2}\), \(\frac{2}{(1+x)^3}\), \(\frac{-6}{(1+x)^4}\) et pour y percevoir une forme générale ; bien sûr, écrire \(2 \times 3\) au lieu de \(6\) aide beaucoup ; faire le lien entre l’alternance des signes et \((-1)^n\) demande un coup de pouce, sans compter que l’exposant \(n\) n’est pas le bon. De même, d’ailleurs, avec les fonctions trigonométriques, surtout si on demande une expression unique pour la dérivée \(n\). Il arrive alors que la question du cas de \(\tan\) surgisse.

L’intégration par parties fournit aussi des situations exemplaires : le calcul de \( \displaystyle \int_0^{\pi} \ !\ !x^2\cos(2\,x)\text{d}{x}\) demande deux i.p.p. itérées ; la conduite classique du calcul en ligne aboutit le plus souvent à des oublis de facteurs, de parenthèses et des erreurs de signes. Une présentation méthodique en tableau fait apparaître un algorithme de calcul général conduisant éventuellement à la formule d’intégration par parties itérées à l’ordre \(n\). L’algorithme ainsi présenté est accepté en première année, mais pas en seconde.

Dans l’intégration par parties, il y a en général plusieurs choix possibles pour \(u’ ;\) et \(v\) ; il s’agira de ne pas confier ce choix au seul hasard ou à l’habitude ou à l’écriture \(u’ ;v\) qui dicte \(u’ ;\) à gauche, \(v\) à droite. De même, dans la situation classique où \(u’ ;=1\), s’interroger a priori sur la possibilité de prendre \(u(x)=x+\lambda\) avec un \(\lambda\) bien choisi peut s’avérer très utile pour la poursuite du calcul. La majoration de l’erreur dans les méthodes d’intégration approchée peut relever de cette idée.

La conduite du calcul

On a ici une compétence qui sort un peu du modeste cadre fixé ; difficile de bien conduire un calcul (non trivial) quand la maîtrise technique est trop incertaine ; le calculateur hésitant, dont une des caractéristiques est l’entêtement, reste derrière son calcul. Avant de se lancer, il peut pourtant être utile d’essayer d’élaborer un plan de calcul au moins embryonnaire : savoir où l’on va et se faire une idée du chemin à suivre, envisager a priori des bifurcations voire des retours en arrière. Ce questionnement est souvent récursif. Les inégalités – ici ignorées – constitue un domaine de choix pour l’exercice de cette compétence, d’autant plus lorsque l’inégalité à obtenir n’est pas explicitement donnée.

Obtenir la majoration \(\left|\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\right| < ; \frac{1}{4}x^2\), sous l’hypothèse \(|x| \leqslant \frac{1}{2}\) n’est pas le même problème que de demander d’obtenir une majoration de l’erreur, aux fins de calcul approché, lorsqu’on remplace \(\sqrt{1+x}\) par sa meilleure approximation affine au voisinage de \(0\).

Demander de faire de tête un calcul qui semble à première vue complexe est un procédé pouvant provoquer un début de réflexion. Une autre façon d’obtenir un questionnement est de réaliser le calcul à l’aide d’un système de calcul formel puis d’imaginer les moyens pour le retrouver à la main, voire de tête. Ces travaux gagnent à faire l’objet d’une brève recherche collective en travaux dirigés, comme toute activité questionnante. Précisons à nouveau que l’objectif principal est de travailler l’anticipation et de faire prendre conscience de l’utilité de connaissances ; la question posée est, récursivement, du type comment faire pour … ? . La résolution effective peut être confiée au travail personnel. Notre étudiant apprécie ce genre de travail, aussi utilisé en phase de préparation à l’oral.

Les calculs dans \(\mathbb{C}\) ou sur les fonctions sont assez riches de possibilités.

Comment faire pour trouver la forme algébrique de \((1-\text{i})^{101}\) puis de \((1-j)^{101}\) ?

Cette question est très classique mais fort pertinente. On peut envisager diverses méthodes, encore faut-il les décrire ; puis choisir celle qui permet de mener le calcul mentalement. Et bien sûr, comment vérifier ? Plus tard, une identité sur \(1\pm \text{e}^{\text{i}\,\theta}\) enrichira le formulaire.

Comment étudier les variations de \(f=x \mapsto \frac{(x+1)^2}{(2\,x-1)^2}\) ?

Calculer \(f’ ;\) est une option immédiate, laquelle gagne en pertinence si la forme \(u^2\), plutôt que \(\frac{u}{v}\) est perçue. Mais du coup, décomposer \(f\) en fonctions simples en est une autre, laquelle gagne beaucoup en pertinence si le caractère homographique est perçu et qu’une connaissance sur ces fonctions est disponible.

Comment calculer le produit des huit nombres \(1\pm \text{i} \sqrt{3} \pm \sqrt{5} \pm \text{i} \sqrt{7}\) ?

Une analyse préalable des facteurs est nécessaire pour choisir les produits pertinents. Le faire mentalement est un petit exploit.

Soit \(f=x \mapsto \frac{x+2}{x+1}\) ; calculer exactement \(f^{10}(1)\).

Calculer \(f(1)\), \(f^2(1)=f(f(1))\) …(éventuellement avec une calculatrice ou un tableur) pour voir est une option ; la bonne question est : pour voir quoi ? Après \(f^3(1)\), on peut s’arrêter un instant et regarder pour bifurquer. On pourra ensuite s’intéresser à la suite \((f^{n}(1))\).

La géométrie analytique offre de multiples occasions de se questionner sur la conduite des calculs mais demande des connaissances autres.

On veut démontrer analytiquement que les médianes d’un triangle sont concourantes en prenant un repère arbitraire. Écrire les étapes d’un calcul démontrant cela.

Difficile de faire plus classique. Bien choisir ses notations est essentiel : ne pas désigner les sommets par les lettres \(N\), \(U\), \(L\), ne pas désigner leurs coordonnées par les lettres \(a,b,c,d,e,f\) ; car il faut anticiper le déroulement des calculs et l’utilité que les symétries de rôle peuvent y jouer ; enfin la question est de démontrer une existence, pas de calculer une solution, ce qui demande quelques connaissances sur les systèmes.

Dans le problème suivant, possible lorsque l’objet ellipse faisait partie de la culture du taupin, le choix de l’équation cartésienne réduite est pertinent ; mais le choix entre équations paramétriques et équations cartésiennes n’est pas évident a priori.

Comment démontrer que les milieux des cordes de même direction d’une ellipse sont alignés ?

Notre étudiant a bien du mal à envisager des étapes d’un calcul ; une animation avec un logiciel de géométrie dynamique permet parfois d’obtenir quelques suggestions pour démarrer. Notre étudiant a des connaissances mais qui ne sont pas disponibles à la pensée ce qui interdit le questionnement. Bien sûr, des démonstrations non analytiques sont possibles mais demandent plus de connaissances.

La question suivante s’avère encore plus problématique (au bon sens du mot) :

on donne trois points distincts \(A,\,B,\,C\) d’affixe complexe \(a,\,b,\,c\) avec \(|a|=|b|=|c|=1\) ; comment déterminer l’affixe complexe du projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\) ? On souhaite une solution où tous les calculs se font dans \(\mathbb{C}\).

Déjà faire une figure ! Devant l’absence de productivité, il s’est avéré préférable de donner la réponse et de demander comment en vérifier la validité, puis, en revenant au problème initial, comment trouver une telle réponse. On imagine le coût temporel qui interdit de multiplier ce genre de travail.

Le premier problème est de définir (caractériser) le projeté orthogonal. Le deuxième de caractériser l’alignement et l’orthogonalité à l’aide des affixes complexes. Ensuite, il conviendra d’user judicieusement de l’hypothèse sur les modules (le conjugué d’un complexe de module 1 est son inverse n’est pas une connaissance disponible).

Trigonométrie et calcul vectoriel sont deux secteurs dans lesquels on peut facilement tourner en rond si les calculs sont livrés à eux-même. Dans les questions suivantes, les détails de l’exécution peuvent difficilement se concevoir a priori.

Les droites \((AB)\) et \((A’ ;B’ ;)\) (resp. \((AB’ ;)\) et \((A’ ;B)\)) se coupent en \(O\) (resp. \(M\)) ; on veut exprimer \(\overrightarrow{OM}\) en fonction de \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OA’}\) (configuration du double alignement).

Il s’agit entre autres choses de faire une recension de toutes les hypothèses qui devront être traduites vectoriellement. Il est loisible de faire un détour par l’analytique, c’est l’occasion d’expliciter tous les implicites liés au choix du repère dans la traduction des relations entre objets. Il est vrai que le calcul barycentrique est ici plus efficace que le calcul vectoriel.

Dans un triangle acutangle \(ABC\), démontrer l’égalité

\(\cot \widehat{A} \cot \widehat{B} + \cot \widehat{B} \cot \widehat{C} +\cot \widehat{C} \cot \widehat{A} =1\)

\(\cot\) n’est pas connu, donc le passage en \(\tan\) est systématique. Un calcul aveugle à base de règles naïves est voué à l’échec, la granularité augmentant rapidement ; il faut analyser soigneusement à chaque étape les expressions avant de poursuivre le calcul. Exprimer \(\tan(a+b)\) en fonction de \(\tan(a)\) et \(\tan(b)\) sera un calcul intermédiaire nécessaire (si la formule n’est pas connue). Le acutangle n’est pas utile.

La conduite de calculs complexes

Dans ces classes, l’étudiant peut devoir s’attaquer à des calculs d’une complexité a priori moins commune que l’ordinaire17. Les stratégies naïves – se laisser guider par le calcul – peuvent s’avérer inadaptées. Le plus souvent, diverses compétences et connaissances sont nécessaires pour mener à son terme ce type de calcul. On trouve dans les archives de la taupe matière à susciter la réflexion collective, le calcul proprement dit étant confié au travail personnel.

L’exemple suivant est décisif : si on demande de substituer

\(x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-
\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\)

dans \(x^3+p\,x+q\) (formule de Cardan), le calcul est quasi-inextricable (même Maple s’y perd) et notre étudiant finit par renoncer. La question, difficile, est : qu’est-ce qui crée la complexité ? L’idée toute simple d’introduire des notations intermédiaires en posant \(x=A-B\) ne vient jamais naturellement ; on allège encore plus en introduisant \(\Delta=\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\) ; la vérification devient (presque) simple. Il conviendra de réfléchir aux conditions de validité de cette formule.

Le calcul18 de la dérivée \(10^{^e}\) de \(f=x \mapsto \text{e}^{-x^2}\) est quasi-impossible sans erreurs si on prend la question naïvement par dérivations successives. Les premiers calculs font apparaître la forme produit d’un polynôme par \(f\) qu’une récurrence valide en fournissant une relation de récurrence simple qui permet d’obtenir rapidement le résultat. Une autre piste est de réaliser qu’il existe une relation linéaire entre \(f’ ;\) et \(f\) ce qui n’est pas surprenant avec la présence de l’exponentielle ; écrite sous la forme \(y\,\exp(x^2)=1\), le calcul s’auto-simplifie à chaque étape.

Un autre facteur de complexité est le couplage d’un calcul et d’un raisonnement à base de disjonctions de cas imposé par la présence de paramètre(s). Les paramètres ne sont pas les bienvenus au lycée donc n’appartiennent pas à l’univers didactique des étudiants ; pourtant ils participent du fonctionnement du calcul et du raisonnement. Ils permettent entre autres de mettre en défaut les systèmes de calcul formel qui gèrent plutôt mal les paramètres.

Les équations/inéquations à paramètre(s) permettent de coupler les difficultés de façon significative sans qu’il soit nécessaire d’introduire une grande technicité.

Par exemple la banale inéquation paramétrique \(m(m-1)\,x \geqslant
m^2-1\)
demande essentiellement du soin. Notons à ce sujet que l’obtention du signe de \(a\,x+b\) par la réécriture \(a\,\left(x+\frac{b}{a}\right)\) n’apparaît jamais.

Un simple exercice d’application, posé à la suite d’un cours sur les petits systèmes, prétexte à un travail sur le raisonnement, a donné lieu à un épisode intéressant. Il s’agissait de discuter de la seule existence des solutions pour le système d’inconnues \((x,\,y)\)

\(S_1\quad \begin{cases} m\,x+y=m \\ (\frac{3}{2}m-1)\,x+m\,y=1 \end{cases}\)

Un étudiant entreprenant propose ce qui suit : il réécrit \(S_1\) sous la forme

\( \begin{cases} m\,(x-1)+y= 0 \\ (\frac{3}{2}x+y)\,m -(x+1) = 0 \end{cases}\)

et changeant de point de vue, déclare que ces deux équations en \(m\) du premier degré ont une solution commune si et seulement si les coefficients sont proportionnels soit \(\begin{vmatrix} x-1 & ; y \\ \frac{3}{2}x+y & ; -(x+1) \end{vmatrix} =0\) soit \(x^2+\frac{3}{2}\,x\,y+y^2=1\), reconnaît l’équation d’une courbe (mais pas la courbe), la fait tracer par sa calculatrice et reste perplexe devant l’ellipse (enfin reconnue) obtenue ; son raisonnement et sa perplexité sont devenus un exercice désarçonnant.

Le symbole \(\Sigma\)

L’enseignement supérieur ne peut pas faire l’économie d’un usage à dire vrai constant des \(\sum\) et plus généralement de l’itération des lois de composition interne. On peut penser que cette question est de l’ordre de la technique ; en réalité, elle condense toutes les difficultés des calculs décrites ci-dessus. Maîtriser son emploi est une compétence à elle seule. L’apprentissage commence certes au lycée mais c’est essentiellement un objectif du supérieur, donc hors de notre propos.

Conclusion

Les classes préparatoires sont très privilégiées dans le paysage de l’enseignement supérieur : par le recrutement, par le principe de l’enseignant unique par matière, enseignant qui a – en mathématiques – une seule classe ce qui permet d’établir avec les étudiants une relation de confiance forte, amplifiée si un vrai travail d’équipe se met en place, par le volume horaire d’enseignement, par les interrogations orales, par le grand nombre de travaux réalisés, corrigés et commentés, par la motivation des étudiants, par l’ambiance d’entraide favorisée par la structure de classe. Pourtant, quel que soit le filtre, au bout de quelques semaines, conséquence probable de l’exigence forte, l’hétérogénéité éclate.

Le handicap du calcul – qui est bien réel, ne regardons pas ailleurs – n’est pas considéré comme une calamité par les enseignants de mathématiques qui ont bien d’autres lièvres à poursuivre, mais ce n’est pas le cas de nos collègues de chimie, physique, sciences de l’ingénieur qui font souvent part de leur effarement. Certes, l’efficacité de la structure permet à la plupart des étudiants de progresser suffisamment pour faire face, cahin-caha, aux besoins de ces disciplines.

On peut avoir un peu plus d’ambition et tenter de développer quelques attitudes, utiles pas seulement au calcul, mais à toutes les matières, scientifiques ou non, et appréciées des écoles si l’on en croit les déclarations de leurs projets pédagogiques. Et il est très satisfaisant de voir, à force de persévérance, notre étudiant standard entrer dans ce jeu du questionnement.

Le développement des compétences relatives aux calculs ainsi entendues devrait rester un objectif des cursus de l’enseignement supérieur ; malheureusement, le niveau post-bac a toujours eu tendance, hier comme aujourd’hui, à considérer que la responsabilité incombe aux niveaux antérieurs. ET pourtant tout enseignant sait bien que les compétences en calcul se travaillent toute la vie.

Bibliographie

L’auteur a renoncé à référencer les emprunts et citations de ce travail ; il n’en serait d’ailleurs plus capable. Les guillemets utilisés en sont la reconnaissance.

La bibliographie concernant le sujet et le niveau de cette enquête est bien réduite. Isolons quelques publications sur le sujet qui nous occupe, en suivant plus ou moins la chronologie.

  1. Algèbre élémentaire, H. Sonnet, 1854. Disponible sur gallica.

  2. Algèbre, J. Haag, 1928.

    Il s’agit d’un tome d’un cours complet de mathématiques élémentaires en six tomes, chacun accompagné d’un tome d’exercices.

    Avant les grands chamboulements de programme des années soixante, le calcul algébrique occupait une place importante dans les classes de la 6 à la terminale à côté de la géométrie. Tous les manuels et traités antérieurs à cette époque contiennent des développements aujourd’hui oubliés (ce qui n’est pas une tragédie mais …).

    Il est très instructif d’observer l’évolution sur un siècle de l’algèbre élémentaire (1854) d’Hippolyte Sonnet (1802-1879), parangon des mathématiques appliquées, jusqu’au tome algèbre (1928) de Jules Haag (1882-1953), professeur de mécanique rationnelle. Le premier s’applique à montrer que chaque notion du cours d’algèbre trouve des applications utiles au citoyen, soit en généralisant les méthodes de l’arithmétique, soit en permettant la résolution de nouveaux problèmes. Et chaque chapitre comporte un luxe étonnant de détails explicatifs : 40 pages pour introduire les écritures algébriques, 100 pages pour traiter du premier degré, 130 pages pour traiter du second degré. Un volume compagnon de problèmes appliqués au commerce, à la banque, aux fonds publics, aux établissements de prévoyance, à l’industrie, aux sciences appliquées propose plus de 1000 problèmes.

    Dans le cours de Jules Haag, qui traite en une centaine de pages des polynômes, des équations du second degré, des systèmes linéaires, des fonctions, des limites, des dérivées et primitives, des aires, des logarithmes, des suites géométriques, et, modeste résidu de mathématiques appliquées, des intérêts composés et annuités, l’algèbre ne tire plus sa justification comme savoir enseigné aux lycéens que d’elle-même, tendance qui va s’amplifier dans les manuels scolaires ; mais soyons juste, il reste beaucoup d’applications géométriques et mécaniques, intra-mathématiques donc, dans les tomes dédiés.

  3. Cours d’algèbre, J. Baret, 1957.

    Ce cours (dans sa 11 édition) est destiné aux candidats aux écoles des arts et métiers. Il reprend le même contenu que l’ouvrage de Jules Haag mais en 580 pages (et 600 exercices et problèmes), avec un additif sur le calcul numérique, le calcul graphique et la règle à calcul. Les paramètres sont omniprésents ; l’algèbre, construite avec un soin extrême, n’est pas mise au service de mathématiques mixtes chères à Chevallard. Quelques applications pratiques apparaissent en fin de volume, comme des reliques du passé. Le recueil de sujets posés au concours des arts et métiers est typique des problèmes du baccalauréat de l’époque. Cette algèbre là va bientôt disparaître.

  4. Les Questions d’algèbre élémentaire de G. Lemaire (15  édition en 1947) qui contient des développements très approfondis mais élémentaires sur l’utilisation de l’homogénéité et de la symétrie avec de nombreuses applications à la géométrie. Cet ouvrage illustre parfaitement un aspect de l’intelligence du calcul que promeut Michèle Artigue.

  5. En 1950, Georges Glaeser a publié une petite brochure de 32 pages L’Entraînement méthodique au calcul algébrique à l’usage des élèves de l’enseignement du second degré et de l’enseignement technique qui contient l’essentiel de ce qui était utile à un candidat au baccalauréat. Brochure rarissime mais instructive.

    L’Irem de Strasbourg a publié en 1984-1987 le cours de didactique expérimentale des mathématiques de Georges Glaeser, fin observateur des phénomènes d’enseignement, pionner aujourd’hui un peu oublié par la didactique officielle . Une partie de ses textes ont été publiés par les éditions La Pensée sauvage.

    Sautons par dessus l’épisode mathématiques modernes , le mot algèbre changeant de signification.

  6. La brochure APMEP 47 (1983) Obstacles et déblocages en mathématiques de Michel Bruston et Claude Rouxel, fruit du travail d’une équipe de formation d’adultes (le CUEPP).

    Cette brochure est remarquable ; les auteurs font une analyse très fine des difficultés rencontrées par des adultes en formation continue dans l’usage des écritures mathématiques, et proposent des hypothèses sur leur origine et les moyens d’y remédier.

  7. Un document – marquant pour tous les collègues enseignant dans le secondaire à l’époque, l’auteur en particulier – publié en 1988 par le GREM19 est l’introduction au calcul littéral rédigé par Daniel Riesz20.

    Ce travail a inspiré beaucoup de monde en particulier les rédacteurs de programmes et des documents d’accompagnement des dernières décennies. On y trouve analysé la distinction, aujourd’hui popularisée, des différentes fonctions des lettres.

  8. À l’époque du formulaire du baccalauréat S, le rapport d’étape de la CREM (commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques) sur le calcul (2001), travail collectif donc, pilotée par Michèle Artigue et rédigé par le mathématicien Jean-Pierre Kahane , est la marque de l’intérêt constant de la noosphère pour le calcul, dont la péjoration culturelle avait été antérieurement dénoncée par Yves Chevallard. Bien que concernant le secondaire, ce rapport contient des analyses pertinentes pour tous les niveaux. On y insiste sur la nécessité de coupler travail sur la technique et résolution de problèmes, et on y pointe l’utilité d’un formulaire disponible.

    Ce rapport va aussi nourrir les publications et documents d’accompagnement des programmes pour la décennie suivante.

    L’institution (par la voix des inspections) a produit de très nombreux documents ressources sur le calcul au niveau du secondaire qu’on trouvera sur eduscol.

    Dans la veine des documents précédents, citons :

  9. Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée (2013)

  10. Les actes de l’université d’été de Saint-Flour Le calcul sous toutes ses formes (2005), semble-t-il pas édités mais publiés en ligne sur le site de l’académie de Clermont-Ferrand.

    Ces actes sont d’une exceptionnelle richesse ; une question vient à l’esprit : en quel lieu utilise-t-on tout cela ? En quel lieu est-il (sera-t-il un jour) possible de le faire ? .

    La conférence d’ouverture de Michèle Artigue L’intelligence du calcul retrouvée ici  est magistrale, s’efforçant d’englober tous les aspects du calcul et tous les niveaux.

     L’essentiel des travaux didactiques spécifiques au calcul concerne plutôt le numérique au niveau de l’école élémentaire ou l’algébrique au niveau du collège, plus modestement au niveau du lycée. L’APMEP a publié deux brochures de synthèse sur le calcul algébrique au collège, fruits du travail d’une équipe de l’Irem de Montpellier

  11. La règle dans tous ses états (2005), brochure 165 et La distributivité dans tous ses états (2012), brochure 193.

  12. La revue Recherche en didactique des mathématiques a publié en un numéro spécial Enseignement de l’algèbre élémentaire – Bilan et perspectives dont le contenu est décrit sur le site de la revue

    On lira avec intérêt l’article incisif de Marianne Bosch et Yves Chevallard L’algèbre entre effacement et réaffirmation. Aspects critiques de l’offre scolaire d’algèbre.

    L’épistémologie du symbolisme mathématique mérite toute l’attention des enseignants ; notre collègue Michel Serfati est une référence en la matière. Son ouvrage La révolution symbolique. La constitution de l’écriture symbolique mathématique(2005), ouvrage extraordinairement riche mais d’une lecture exigeante (issu d’une thèse), a fait l’objet d’une recension dans le bulletin vert 460 .

    Le lecteur pressé consultera l’article résumé de la gazette des mathématiciens :

  13. La constitution de l’écriture symbolique mathématique. Symbolique et invention., Michel Serfati, 2006, . Les thèses de didactique ne sont pas des livres ou des manuels d’enseignement ; certaines méritent pourtant d’être au moins consultées par un enseignant. Ainsi celle de Caroline Bardini, sous la direction de Michel Serfati et de Michèle Artigue :

  14. Le rapport au symbolisme algébrique : une approche didactique et épistémologique (2003). On trouvera une recension sur publimath .

    Un domaine oublié du calcul susceptible de contribuer à l’intelligence du calcul est le calcul graphique dont Dominique Tournés étudie l’histoire et l’intérêt pour l’enseignement des mathématiques ; on trouvera toutes ses publications sur . L’article suivant illustre parfaitement son travail.

  15. Construction d’équations algébriques, Repères-IREM, 59 (2005).

    Depuis leur origine, les Irem ont publié de nombreuses brochures sur le calcul et les erreurs, travaux d’équipes variées, petit à petit renforcées par la présence de spécialistes de didactique. Ces publications concernent surtout les élèves du cycle 4, éventuellement de seconde, qui sont en phase d’apprentissage du calcul et des moyens d’en améliorer l’efficacité.

    Concernant les erreurs, une publication émerge singulièrement, signée par un spécialiste de la question

  16. Les erreurs des élèves en mathématiques , Guy Brousseau, Petit x n°57, 2000-2001.

    Ce texte est un modèle de clarté, à mettre en toutes les mains.

    J’ai un faible pour l’ouvrage suivant qui tombait à point en 1996 :

  17. Langage, logique, démonstrations de Marcel Condamine (1996), bien connu des anciens pour ses manuels de TC des années soixante-dix ; il contient un chapitre puissance algorithmique des notations et un autre diagnostic de causes d’erreur écrits dans une langue qui parle aux enseignants.

Autour des années 2000, pour répondre aux interrogations des enseignants du supérieur devant adapter leur enseignement aux profils des nouveaux lycéens , de nombreuses publications, souvent pilotées par des didacticiens vont paraître mais focalisées sur les matières nouvelles de ce niveau et la nécessaire évolution de leur enseignement : l’algèbre linéaire, les réels et la topologie, les équations différentielles, l’intégration, la démonstration, les questions plus générales de méthodologie du travail ou sur l’emploi des nouvelles technologies. Les problèmes de calcul de nos étudiants ne sont sans doute pas un problème de la profession 21.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

L’auteur, à la retraite depuis quelques années, a pu dans sa carrière enseigner à divers niveaux : école, collège, lycée, classes préparatoires, université, école d’ingénieur. Il continue de s’intéresser aux mathématiques et à leur enseignement. Plus amoureux du papier que des PDF, il dispose enfin du temps pour mieux explorer les rayons de sa bibliothèque.


  1. Cette qualification de classe scientifique est abusive puisqu’on oublie les autres classes préparatoires tout aussi scientifiques : TSI, TPC, ATS, BCPST, TB.

  2. Mission académique à la formation des personnels de l’éducation nationale.

  3. Cet étudiant imaginaire a un peu tendance à concentrer tous les défauts…Mais, même dans ces classes, certains étudiants ont, chaque année, une réussite remarquable.

  4. Ce que la communauté ne manque pas de vanter dans les salons étudiant.

  5. Sans oublier l’aide, psychologique et académique, que son milieu peut lui apporter ; mais la vocation des classes de proximité était précisément de contribuer à l’ouverture sociale de la filière.

  6. Quand bien même ces écritures et le discours de nos collègues les accompagnant seraient jugés inappropriés par les gardiens du temple que nous sommes. Mais ceci provoque des questions intéressantes des étudiants ; il faut sans cesse redire qu’il s’agit bien des mêmes mathématiques mais que les pratiques différent.

  7. Au sens qu’on donnait à ce terme avant 1960.

  8. Toutefois, lors de l’évaluation (anonymée) en fin d’année de l’enseignement reçu par les étudiants, de façon régulière, certains, se débrouillant d’ailleurs plutôt bien, contestaient l’utilité de toutes ces explications qui nous embrouillent ; apprenez-nous à faire, on a toute la vie pour comprendre ! . Douche froide, mais révélatrice d’un rapport à la matière assez standard.

  9. Cette égalité est une définition de nom.

  10. Le calcul matriciel est introduit en Terminale en enseignement de spécialité (aujourd’hui en mathématiques expertes), mais l’étudiant standard a plutôt suivi une autre spécialité.

  11. Les étudiants des années quatre-vingt-dix avaient une maîtrise des calculatrices bien plus experte que ceux des décennies suivantes.

  12. et d’horaires en peau de chagrin

  13. En général, contrairement aux exemples ci-dessous, un calcul n’est pas uniquement formel ; il est un moyen de répondre à une question externe ce qui permet de lever les ambiguïtés.

  14. Mais les étudiants aiment beaucoup les catalogues d’astuces.

  15. À la condition impérative de former les enseignants ; les ressources pléthoriques d’Internet, l’activité faramineuse de sites comme sesamath ne sont paradoxalement pas suffisantes ; l’enseignant standard se sent écrasé par tant de richesses pédagogiques et regarde ailleurs.

  16. Et souvent, s’oublient très vite, ainsi qu’on peut le constater dans les écoles.

  17. Certaines questions aux concours sont parfois d’une complexité ahurissante.

  18. Proposé dans le livre du problème de l’Irem de Strasbourg comme tâche technique.

  19. Groupe de réflexion sur l’enseignement des mathématiques qui a fonctionné de 1990 à 1992 sous la présidence de Christian Houzel.

  20. Re-publié en 2003 dans le bulletin vert 445.

  21. Remarque à l’adresse des collègues didacticiens.

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