Au fil des problèmes n° 548

Frédéric de Ligt

© APMEP Juin 2023

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548-1 Une question de Charles Hermite

Soit un entier n ≥ 3, combien de solutions entières strictement positives possède l’équation
$x + y + z = n$ avec comme contraintes $\begin{cases}
x \leqslant y + z \\
y \leqslant x + z \\
z \leqslant x + y
\end{cases}$

548-2 Vu sur le compte LinkedIn de Vincent Thill (Migennes)

Soit a, b, c, d des nombres réels tels que a + b + c + d = 0.
Montrer qu’alors on a toujours l’égalité : $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(abc + abd + acd + bcd)$

548-3 Eurêka !

Hiéron II, roi de Syracuse, vient de recevoir comme paiement des taxes des sacs de drachmes d’argent de la part de ses six fermiers généraux. Depuis l’affaire de la couronne en or, il se méfie. Il se pourrait très bien que certains d’entre eux aient pu s’entendre avec un atelier monétaire pour mélanger l’argent des pièces avec des métaux moins précieux. Il fait appel, une fois de plus, à son ami Archimède pour s’assurer que tout est régulier.

Cette fois, s’il y a de fausses drachmes, elles auront le même volume que les vraies. Par conséquent, il n’est pas nécessaire pour l’immortel savant d’aller prendre un bain pour s’acquitter de sa tâche. En revanche, il a à sa disposition une balance précise et un système de masses marquées ; il connaît déjà très exactement la masse d’une drachme d’argent. Par ailleurs, toutes les fausses pièces sont identiques mais ne pèsent pas comme une drachme et toutes les drachmes d’un fermier général sont soit fausses soit vraies. Plutôt que de prendre une pièce dans chacun des sacs des six fermiers généraux et de réaliser six pesées, égal à lui-même, Archimède a trouvé un moyen infaillible de détecter tous les fraudeurs éventuels en seulement deux pesées.

Quelle est donc sa méthode ?

548-4 Une variante du problème du bâton brisé (Jean-Christophe Laugier-Rochefort)

On démontre que si l’on brise un bâton à deux endroits marqués au hasard, la probabilité que les trois morceaux obtenus puissent former un triangle est $\dfrac{1}{4}\cdotp$
Mais qu’en est-il, si au hasard, on casse d’abord le bâton en deux, puis on choisit l’un des deux morceaux, que l’on brise à son tour ?

À propos des problèmes parus précédemment

Suite à une erreur de transmission, les solutions aux quatre problèmes posés dans le numéro 545 proposées par Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) sont parvenues trop tard à la rédaction pour être commentées dans le numéro précédent, pourtant elles l’auraient mérité. Vous pourrez les retrouver sur notre site à l’emplacement habituel.

546-1 Un triangle bien élevé

Toutes les contributions se concentrent sur l’obtention de triangles bien élevés primitifs. Ludovic Jany (Bolquère), Pierre-Alain Sallard (Paris), Patrick David (Cergy) et Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) proposent des familles de solutions.

Daniel Perrin (Orsay) et Jacques Vieulet (Ibos) démontrent que les seules hauteurs à considérer pour de tels triangles les partagent en deux triangles pythagoriciens. En utilisant les paramétrages classiques de ces triangles ils obtiennent tous les triangles bien élevés primitifs qui se subdivisent en deux familles.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) partent de la formule de Héron qui donne l’aire d’un triangle et de la relation vérifiée par les triangles bien élevés pour obtenir, selon les auteurs, respectivement une équation du second et du troisième degré avec paramètres. La résolution fait apparaître deux familles de solutions dans le premier cas qui se fondent en une seule dans le second cas.

Quant à Gérald Anselme (Valleiry), il montre que tout triangle bien élevé s’obtient à l’aide d’un seul paramétrage faisant intervenir deux paramètres. Bien qu’il passe par le partage du triangle bien élevé en deux triangles pythagoriciens, mais sans utiliser de paramétrage de ces derniers, il obtient le même paramétrage que celui auquel madame Gras est parvenue.

546-2 Pour bien finir 2022 et débuter 2023

Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) établissent que la valuation de $2022^2!$ est supérieure à la valuation de $(2022!)^{2023}$ pour tous les facteurs premiers de ${2022}$. Les autres contributions donnent diverses démonstrations du cas général : $n^2!/(n!)^{n+1}$ est toujours un entier. Daniel Perrin (Orsay), Pierre-Alain Sallard (Paris), Jordi Ordonez (Andorre), Pierre Carriquiry (Clichy), Gérald Anselme (Valleiry), Patrick David (Cergy) et son collègue Julien Sautet écrivent l’expression sous la forme d’un produit de coefficients binomiaux et donc d’un produit d’entiers. Robert Ferréol (Paris) reconnaît de son côté le nombre de partitions non ordonnées de $\{1,\ 2,\ \ldots,\ n^2\}$ en $n$ parties à $n$ éléments. Enfin Ludovic Jany (Bolquère) interprète $(n!)^{n+1}$ comme l’ordre d’un sous-groupe du groupe des permutations des $n^2$ premiers entiers et rappelle que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe.

546-3 Une extension de l’inégalité de Nesbitt

Selon les informations de Daniel Vacaru (Pitesti, Roumanie), cette inégalité est apparue pour la première fois dans la Gazeta Matematică (en roumain) n°1/2003, sous la signature de l’enseignant Vasile Cârtoaje (Ploiesti). Toutes les solutions se proposent d’étudier le signe de la différence des deux membres de l’inégalité. Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) réduit les deux termes au même dénominateur et développe complètement le numérateur. Un regroupement fait apparaître six termes dont trois sont positifs et trois sont négatifs. La conclusion s’obtient en appliquant le théorème de Muirhead à trois différences judicieusement choisies. Gérald Anselme (Valleiry) et Patrick David (Cergy), après un début identique et des factorisations partielles du numérateur, font apparaître ce dernier comme une somme de termes positifs. Jacques Vieulet (Ibos) adopte une autre méthode. La réduction au même dénominateur s’effectue par paires et une minoration de l’expression est obtenue en substituant aux trois dénominateurs les plus grands des trois. Le numérateur de l’expression minorante est alors nul. Enfin, Daniel Perrin (Orsay), Daniel Vacaru et son collègue Marin Chirciu (Roumanie) ainsi que Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône) entament leur solution de la même façon que la précédente, mais en ayant ordonné les trois inconnues, ils peuvent réorganiser leur calcul en une somme de trois termes positifs.

546-4 Heptasection d’un triangle (Jacques Chayé – Poitiers)

Il y avait bien des façons d’éviter l’introduction d’un repère cartésien pour résoudre cette question. La plupart des contributions font intervenir un lemme de proportion, consécutif au tracé d’une cévienne dans un triangle, qui établit l’égalité entre un rapport de longueurs et un rapport d’aires. Jean-Michel Sarlat (Saint-Savin-sur-Gartempe), Dominique Gaud (Migné-Auxances), Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives), Gérald Anselme (Valleiry) et Jacques Vieulet (Ibos) considèrent de plus les sommets du triangle intérieur comme des barycentres des sommets du grand triangle ; Daniel Perrin (Orsay) et Yves Farcy (Saint-Pons-de-Thomières), quant à eux, concluent avec le lemme des chevrons ; Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) s’appuie sur le théorème de Thalès ; Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) découpe le triangle en dix petits triangles et résout un système d’équations sur les aires ; Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône) passe par la composée de deux homothéties de centres différents mais qui reste tout de même une homothétie ; Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Jean Moussa (Arcueil) utilisent des coordonnées barycentriques ; Ludovic Jany (Bolquère) fait intervenir le théorème de Routh qui exprime le rapport entre l’aire d’un triangle et celle du triangle formé par trois céviennes.

Enfin Alain Bougeard (les Lilas) propose une solution qui a ma préférence, sans aucun calcul, à l’aide d’un pavage astucieux du plan. Il s’agit, à l’aide d’un réseau de parallèles, de paver le plan avec des pavés isométriques à $\mathsf{IJK}$, considérés comme des pavés unité et de constater que le triangle $\mathsf{ABC}$ a pour aire l’équivalent de sept de ces pavés.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.