Pour un accord de guitare
Les problèmes de Papy Michel

Quand on apprend la guitare ou le piano, on découvre l’usage des accords dont on mémorise les doigtés, le plus souvent sans comprendre comment ils sont faits. On se contente de constater qu’ils « sonnent » bien. Et si les mathématiques y étaient pour quelque chose ?

Michel Soufflet

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Qu’est-ce qu’un accord ?

Un accord est un groupement d’au moins trois sons joués simultanément. Si vous jouez trois notes au hasard, vous obtenez, en général, un résultat sonore qui n’est pas très agréable à entendre. Mais si par exemple vous essayez avec un do, un mi et un sol, vous obtiendrez un mélange harmonieux. C’est cet ensemble composé d’un do, d’un mi et d’un sol et d’une autre note plus grave que l’on appelle un accord de do (majeur).

Pourquoi ces trois notes s’accordent-elles entre elles ?

Imaginez que vous disposiez d’un générateur de fréquences capable de vous donner un son d’une fréquence \(n\) choisie au hasard. Ce son est, du point de vue mathématique, une fonction périodique du temps de période \(\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut n}\cdotp\) Elle est, si on simplifie au niveau de l’amplitude et de la phase, de la forme \(\sin(2\pi nt)\). Si on émet simultanément trois notes de fréquence respective \(4n\), \(5n\) et \(6n\), on obtient un son dont la fonction correspondante est de la forme : \[f(t)=a \sin(2 \pi 4nt) + b \sin(2 \pi 5nt)+ c \sin(2 \pi 6nt).\] Cette fonction est périodique et de période \(\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut
n}\) : en effet, on a évidemment \(f\left(t+\dfrac{1}{n}\right) = f(t)\).

Donc si on fait entendre simultanément trois notes de fréquence \(4n\), \(5n\), \(6n\), on obtient un mélange de fréquence \(n\), en divisant ces trois fréquences par \(4\), le même calcul nous montrera que si on mélange trois notes de fréquence respective \(n\), \(\dfrac{5n}{4}\), \(\dfrac{3n}{2}\), on obtient une note de fréquence \(\dfrac{n}{4}\cdotp\)

Avec notre instrument, lorsque que l’on joue simultanément do, mi et sol, nous sommes dans cette situation car si \(n\) est la fréquence du do, \(\dfrac{5n}{4}\) est presque celle du mi, et \(\dfrac{3n}{2}\) presque celle du sol. Ces trois notes jouées ensemble forment ce qu’on appelle un accord de fréquence \(\dfrac{n}{4}\cdotp\)

La note de fréquence \(\dfrac{5n}{4}\) est appelée la tierce et la note de fréquence \(\dfrac{3n}{2}\) est appelée la quinte par les musiciens.

Un accord composé de la tonique de fréquence \(n\), de sa tierce et de sa quinte est appelé un accord parfait.

Quelques termes utilisés par les musiciens

Harmonique

Il nous faut faire appel à un théorème de psychophysique, connu sous le nom de loi de Fechner¹ selon laquelle la sensation correspond au logarithme de la stimulation.

Nous percevons donc les sons suivant le logarithme de leur fréquences.

C’est pour cela que les musiciens n’utilisent pas les fréquences mais les gammes pour repérer la hauteur des notes. Les fréquences \(n_1 = N\), \(n_2 = 2N\), \(n_3 = 4N\), \(n_4 = 8N\), \(n_5 = 16N\) forment une suite géométrique : \(\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{n_3}{n_2} = \dfrac{n_4 }{n_3}
= \dfrac{n_5}{n_4}\cdotp\)

Les hauteurs perçues correspondantes : \(h_1\), \(h_2\), \(h_3\), \(h_4\), \(h_5\) forment une suite arithmétique : \[h_2-h_1 = h_3-h_2 = h_4-h_3
= h_5-h_4.\]

Fréquence	\(N\)	\(2N\)	\(4N\)	\(8N\)	\(16 N\)	\(32N\)	\(64N\)
Hauteur perçue	\(h\)	\(2h\)	\(3h\)	\(4h\)	\(5h\)	\(6h\)	\(7h\)
Note	do₁	do₂	do₃	do₄	do₅	do₆	do₇

Si un do de base a pour fréquence \(N\) alors celui situé à l’octave supérieure aura pour fréquence \(2N\), le suivant pour fréquence \(4N\) et celui d’après \(8N\), etc.

Donc, si \(N\) est la fréquence d’un do, alors \(\dfrac{N}{4}\) est celle du do situé deux octaves plus bas.

Pour une fréquence \(N\) donnée, les fréquences \(2N\), \(3N\), …, \(kN\) sont appelées harmoniques de \(N\).

Pour aller plus loin, il nous faut faire un retour historique (et simplifié) sur la manière dont se sont formées les gammes au fil du temps.

Gammes naturelles ²

De ce que l’on vient de voir, il ressort que la recherche de l’accord parfait invite à construire une gamme dans laquelle les rapports de fréquences entre les notes sont des nombres rationnels. Ce fut sans doute la démarche de Zarlino au siècle :

Note	do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
Fréquence	\(1\)	\(\dfrac{9}{8}\)	\(\dfrac{5}{4}\)	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{3}{2}\)	\(\dfrac{5}{3}\)	\(\dfrac{15}{8}\)	2

Dans cette gamme, l’accord de do majeur (do, mi, sol) est parfait. Toutes les fréquences des notes, y compris celles des gammes inférieures et supérieures, sont des nombres de la forme \(2^a\times3^b\times5^c\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des entiers relatifs. Elles forment le groupe multiplicatif noté \(<2,3,5> \).

Exemple :

pour la gamme supérieure : le fa aura pour fréquence \(\dfrac{\mathstrut4}{\mathstrut3}\times 2 =
\dfrac{\mathstrut8}{\mathstrut3}= 2^3\times 3^{-1}\times 5^0\) et le mi \(\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut4} \times2
=\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut2} = 2^{-1}\times 3^0\times 5^1\) ;
pour la gamme inférieure : le si aura pour fréquence \(\dfrac{\mathstrut15}{\mathstrut8}\div2 =
\dfrac{\mathstrut15}{\mathstrut16} = 2^{-4}\times 3^1\times 5^1\) et le mi \(\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut4}\div2
=\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut8} = 2^{-3}\times 3^0\times 5^1\).

Une autre gamme naturelle, encore plus ancienne, 2500 ans déjà, est celle de Pythagore :

Note	do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
Fréquence	\(1\)	\(\dfrac{9}{8}\)	\(\dfrac{81}{64}\)	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{3}{2}\)	\(\dfrac{27}{16}\)	\(\dfrac{243}{128}\)	2

Ici les nombres sont de la forme \(2^a\times3^b\) (groupe multiplicatif noté \(< 2,3>\))

Cette gamme est construite de telle sorte que toutes les notes s’obtiennent, à une octave près, en partant de la note ré et en jouant les trois quintes successives au-dessus et les trois en dessous.

Exemple : quinte au-dessus du ré : \(\dfrac{9}{8} \times \dfrac{3}{2} =
\dfrac{27}{16}\) : on obtient un la.

Quinte en dessous du ré : \(\dfrac{9}{8} \times \dfrac{2}{3} =
\dfrac{3}{4}\) ; cette note est le sol de la gamme inférieure puisque \(\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}\cdotp\)

Ces gammes naturelles, qui ne sont pas les seules, ne sont utilisées que par quelques solistes, car pour produire ces notes, il faut être en mesure d’avoir un impact sur la justesse de l’instrument. C’est le cas du chanteur, du trombone à coulisse ou encore des instruments de la famille à cordes frottées (violoncelle, violon…).

La gamme tempérée ³

Cette gamme, créée par Jean-Sébastien Bach en 1722 dans le clavier bien tempéré, est quasiment la seule gamme utilisée de nos jours. La plupart des instruments de musique sont fabriqués sur cette base.
L’intervalle entre deux do consécutifs est divisé en douze petits écarts appelés demi-tons :

Note	do	do \(\sharp\)	ré	mi \(\flat\)	mi	fa	fa \(\sharp\)	sol	sol \(\sharp\)	la	si \(\flat\)	si	do
Demi-ton	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(1\)	\(\dfrac{3}{2}\)	\(2\)	\(\dfrac{5}{2}\)	\(3\)	\(\dfrac{7}{2}\)	\(4\)	\(\dfrac{9}{2}\)	\(5\)	\(\dfrac{11}{2}\)	\(6\)
Fréquence	\(1\)	\(q\)	\(a\)	\(d\)	\(c\)			\(b\)					\(2\)

Pour simplifier, on choisit \(1\) comme fréquence fondamentale de la note do.

Nous allons calculer dans la suite \(q\), \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).

La deuxième ligne du tableau est une suite arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\cdotp\)

La troisième, une suite géométrique de raison \(q\) tel que \(q^{12} = 2\), c’est-à-dire \(q = 2^{\frac{1}{12}}\).

La fréquence est fonction exponentielle de la hauteur (réciproque de la fonction \(\log\)), c’est donc une fonction du type \(f(x)= a^x\) avec \(a\) tel que \(a^6=2\), ce nombre \(a\) est \(2^{\frac{1}{6}}\) soit environ \({1,122}\) ce qui correspond à la fréquence de la note ré.

Un demi-ton correspond, en fréquence, au nombre \(2^{\frac{1}{12}}\).

Pour la note sol, il faut trouver \(b\) tel que \(b = a^{\frac{7}{2}}\) soit \(b=2^{\frac{7}{12}}\) soit environ \({1,498}\). On est très proche du \(\dfrac{3}{2}\) attendu pour la quinte.

L’accord majeur

Avec la gamme tempérée, le mi a pour fréquence \(c=
a^2=2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{1}{3}}\) soit environ : \({1,259}\). Cette fréquence est légèrement supérieure à la \(5\) harmonique pure \(\dfrac{5}{4}={1,25}\).

La gamme tempérée parvient à gagner en praticité parce qu’elle fait des concessions sur la justesse.

Dans cette gamme, l’accord de do majeur n’est pas pur, l’oreille humaine s’adapte très bien à ces petites différences y trouvant même une forme d’enrichissement.

L’accord mineur

Le mi bémol, \(5^{e}\) harmonique de notre accord de do mineur, a pour fréquence \(d = a^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{12}} = 2^{\frac{1}{4}}\) soit environ \({1,189}\).

On voit que la \(5^{e}\) harmonique «pure» de fréquence \(\dfrac{5}{4}={1,25}\) est bien entre le mi et le mi bémol.

Les musiciens appellent do mineur, l’accord obtenu avec les trois notes, do, sol, mi bémol.

Dans la gamme de do, le mi s’appelle tierce majeure, c’est le plus près de la note \(5N\), légèrement au dessus.

Le mi bémol, légèrement en dessous, est appelé tierce mineure.

Pour trouver les autres accords, il suffit de transposer :

l’accord en la mineur, par exemple, s’obtient en retirant trois demi-tons à chacune des notes do, mi bémol, sol ; cela donne : la, do, mi ;
L’accord en ré majeur en ajoutant un ton aux notes do, mi, sol ; on obtient ré, fa dièse, la.

Et l’accord de \(7^{e}\) ?

Nous avons vu que l’accord majeur de la note de fréquence \(n\) est formé avec les notes de fréquence \(2n\), \(3n\), \(5n\), et de leurs multiples. Si \(n\) correspond à un do, alors \(4n\), \(8n\), \(16n\) correspondent à des do supérieurs ; \(6n\), \(12n\), \(24n\) à des sol et \(5n\), \(10n\), \(30n\) à des mi.

La \(7^{e}\) harmonique, note de fréquence \(7n\), est, dans la gamme tempérée, approximativement un si bémol. Si on ajoute à l’accord de do majeur (do, mi et sol) cette \(7^{e}\) harmonique, on obtient l’accord de do7 majeur, appelé accord de \(7^{e}\). Le fait que ce ne soit qu’à peu près un si bémol rend l’accord de \(7^{e}\) légèrement faux à l’oreille d’un débutant alors qu’il apparaîtra enrichi à un musicien averti dont l’oreille s’est accoutumée.

Utilisation en classe

Si une collaboration avec le collègue de musique semble toute naturelle, n’oublions pas celle du collègue de physique pour mettre en pratique les accords.

Un travail sur les cordes vibrantes fait apparaître que, si on divise la longueur de la corde par deux on obtient l’octave supérieure, si on la divise par trois on obtient la quinte. Sur une guitare, la \(12^{e}\) barrette doit se trouver au milieu de la corde, la \(7^{e}\) près du tiers de cette corde car \(2^{\frac{7}{12}}\) vaut environ \({1,498}\), ce qui correspond à la quinte. Le rapport des fréquences entre les notes correspondant à deux barrettes successives est \(2^{\frac{1}{12}}\), celui des longueurs est \(2^{-\frac{1}{12}}\).

Du point de vue culturel, on voit que le terme «gamme naturelle» n’est pas sans lien avec la notion d’entier naturel puisque les rapports de fréquences entre les notes sont des nombres rationnels c’est-à-dire des rapports d’entiers naturels.

Avec un public d’élèves mélomanes, on peut envisager de proposer l’accord parfait dans la gamme de Zarlino que l’on distingue «à l’oreille» du même accord dans la gamme tempérée⁴ et faire ainsi un parallèle entre nombres rationnels et entiers.

De mon point de vue, il faut, le plus souvent possible, privilégier tout ce qui peut donner du sens. L’accord de \(7^{e}\) en musique faisait partie de mon cours, toutes sections confondues, lorsque j’introduisais les logarithmes. Un jour, une élève de Terminale ES (spécialité maths) est venu me remercier à la fin de l’heure : elle venait de comprendre comment étaient constitués les accords qu’elle jouait sur son piano et en particulier pourquoi il fallait ajouter un si bémol à l’accord de do majeur pour obtenir celui de do7. Vingt ans plus tard, elle ne se rappellera sans doute pas que la fonction logarithme est une primitive de \(x\longmapsto\dfrac{1}{x}\) mais peut-être se souviendra-t-elle que c’est une fonction qui transforme les produits en somme. Et que c’est la perception logarithmique des sons par l’être humain qui fait que le physicien évoque des fréquences tandis que le musicien perçoit des hauteurs de sons.

Le plus important est ce qui reste quand on a tout oublié !

la m. ré m. sol 7
ce qu’il faut de malheur pour la moindre chanson

sol 7 do mi 7
ce qu’il faut de sanglots pour un air de guitare

G. Brassens – Poèmes d’Aragon : Il n’y a pas d’amour heureux.

Références

Michel Soufflet.100 énigmes mathématiques de tous les jours. Éditions Vuibert, 2014.
Bernard Parzysz. « Musique et transformations. Analyse d’une œuvre contemporaine ». APMEP. In : Bulletin Vert n° 509 (2015).
Yves Hellegouarch et Michel Soufflet. Kreisleiriana. IREM de Basse Normandie, 1985
Éric Decreux. Mathématiques, sciences et musique. Ellipses, 2008.