Au fil des problèmes n° 539

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Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2021

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539 -1 Une table de bureau originale

Un menuisier a conçu une nouvelle table de réunion modulable. Son plateau a la forme d’un pentagone non régulier. Sachant que la longueur \(\mathsf{AB}\) vaut 60 cm et que l’angle en \(\mathsf{A}\) vaut 120°, pourriez-vous donner la valeur exacte de l’aire de ce plateau ?

539 – 2 Une variante de l’équation de Markov (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers naturels \[a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 6abc.\]

 Andreï Markov 1856-1922.

539 – 3 Rester toujours positif

Poursuivant l’idée de l’énoncé 87 trouvé dans L’appel des Maths (volume 1 Nombres) de Jean-Pierre Boudine, un recueil de problèmes à destination des lycéens publié en 2019 aux éditions Cassini, on considère la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de nombres réels définie par \(\left\{\begin{array}{rcl}
a_0&=&1,\\
a_1&=&x,\\
a_2&=&y,\\
a_{n+3}&=&a_n – a_{n+1}
\end{array}\right..\)

Existe-t-il un couple \((x ;y)\) qui rende tous les termes de la suite strictement positifs ?

539 – 4 Un duo de coniques (Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg)

Relativement à un repère orthonormé \((\mathsf{O},\mathsf{I},\mathsf{J})\), soit \((\mathscr{U})\) le cercle unité d’équation \(x^2 + y^2 = 1\) et \((\mathscr{P})\) la parabole d’équation \(y = x^2 -\sqrt{2}\) ; \(\mathsf{A}\) est un point quelconque de \((\mathscr{P})\). On construit les tangentes \((\mathsf{AB})\) et \((\mathsf{AB_1})\) au cercle \((\mathscr{U})\) issues de \(\mathsf{A}\) qui recoupent la parabole \((\mathscr{P})\) en \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B_1}\).

1. Démontrer que les tangentes au cercle \((\mathscr{U})\) issues de \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B_1}\) autres que \((\mathsf{BA})\) et \((\mathsf{B_1}\mathsf{A})\) se coupent en un point \(\mathsf{C}\) appartenant à la parabole \((\mathscr{P})\).

2. Démontrer que lorsque \(\mathsf{A}\) varie sur \((\mathscr{P})\) les diagonales \((\mathsf{AC})\) et \((\mathsf{BB_1})\) du quadrilatère variable \(\mathsf{ABCB_1}\) inscrit dans \((\mathscr{P})\) et circonscrit à \((\mathscr{U})\) se coupent en un point fixe \(\mathsf{K}\) situé sur l’axe de la parabole.

3. Soit \(\mathsf{M}\), \(\mathsf{N}\), \(\mathsf{P}\) et \(\mathsf{Q}\) les points de tangence. Démontrer que les intersections des paires de côtés opposés de chacun des deux quadrilatères \(\mathsf{ABCB_1}\) et \(\mathsf{MNPQ}\) sont toutes les quatre alignées sur une même droite \((\Delta)\).

À propos des problèmes parus précédemment

537-1 Mélangeur de couleurs

Deux solutions reçues à cet énoncé.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) découpe un carré \(4\times4\) (l’unité est le quart de tour) en \(99\) parties et détermine rapidement, grâce aux symétries du problème, la présence éventuelle d’une domination rouge dans chacune. La probabilité finale est obtenue par addition de fractions d’aire.

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) examine de son côté le cas où les deux sous-palettes sont chacune d’une seule couleur et détermine alors la probabilité que l’une au moins soit rouge. Pour les autres cas, puisque les couleurs sont réparties de manière identique sur les palettes, il y a équiprobabilité de la domination d’une couleur particulière et cette remarque permet ainsi de calculer la probabilité d’obtenir un ton final dominé par le rouge. L’indépendance des deux types de cas autorise l’addition de ces deux probabilités.

537-2 Construction sous contrainte

La géométrie élémentaire attire toujours autant.
La majorité des réponses (Jacques Chayé (Poitiers), Jacques Vieulet (Ibos), Hervé Chastand (Saint-Aubin-de-Lanquais), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Marc Roux (Nîmes), Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) et Jean-Claude Carréga (Lyon)) utilisent une rotation de autour d’un point arbitraire d’une des trois droites qui sera un des sommets du triangle. L’image d’une des deux autres droites par cette rotation intercepte la troisième droite au second sommet du triangle. La construction du troisième sommet est alors immédiate.

Pierre-Alain Sallard (Paris) et Ludovic Jany (Bolquère) se placent dans la cadre de la géométrie analytique et obtiennent des expressions pour les coordonnées des sommets du triangle qui sont certes constructibles à la règle et au compas mais, il faut bien le reconnaître, guère pratiques à mettre en œuvre.

Daniel Djament (Le Pré-Saint-Gervais) répond à la question en utilisant la trigonométrie. Enfin Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) propose une construction particulièrement simple et originale à partir d’un triangle équilatéral construit perpendiculairement aux droites parallèles. Marc Roux propose et résout une possible généralisation où le triangle a une forme imposée.

537-3 Deux équations diophantiennes

\(x^2 + y^2 = 31z^2\).

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) prouvent l’impossibilité d’une solution autre que triviale, en restreignant l’étude modulo \(4\). Jacques Vieulet (Ibos), Denis Roussillat (Vénissieux) et Jean-Claude Carréga (Lyon) parviennent à la même conclusion en la restreignant modulo \(31\).

\(x^2 + y^2 = 29z^2\).

Jacques Vieulet (Ibos) obtient des familles de solutions à partir de l’identité de Lagrange.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Jean-Claude Carréga (Lyon) obtiennent toutes les solutions en mobilisant l’anneau des entiers de Gauss qui est principal.

Denis Roussillat (Vénissieux) parvient au même résultat par un chemin bien différent ; il introduit une représentation paramétrique des points à coordonnées rationnelles du cercle trigonométrique puis lui applique une matrice de similitude directe conservant la rationalité pour parvenir aux triplets élémentaires qui sont solutions de l’équation diophantienne.

537-4 Une fonction homographique particulière

Une condition manquait pour rendre l’énoncé correct. Cela n’a pas arrêté Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) qui a retrouvé l’hypothèse malencontreusement égarée. Il fallait que les nombres dérivés en \(0\) des fonctions homographiques et de la fonction \(\mathstrut g\) soient égaux. Auquel cas on trouvait bien une fonction homographique minimale, à savoir \(f(x)=\dfrac{\mathstrut x+6}{\mathstrut 4x+6}\cdotp\)

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.