Au fil des problèmes n° 537
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2021

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537-1 Mélangeur de couleurs (Ivan Riou)

Il existe trois couleurs fondamentales: le jaune, le bleu et le rouge. On appellera ton un mélange de ces trois couleurs selon certaines proportions. On construit un mélangeur de couleurs de la façon suivante: on part de deux palettes circulaires contenant chacune les trois couleurs fondamentales.

Les deux palettes sont initialement positionnées comme ci-dessus. On tourne chacune des deux palettes d’un angle compris entre 0° et 360° dans le sens antihoraire, non nécessairement entier. Puis on vient récupérer la (les) couleur(s) présente(s) sur le secteur angulaire de 90° situé en bas à droite de chaque palette, appelé sous-palette pour obtenir deux tons intermédiaires. Enfin, on mélange les couleurs des deux sous-palettes associées à ces deux tons intermédiaires pour obtenir le ton final.

Par exemple :

	et		donnent
Palette 1 : ton intermédiaire n° 1 ; Angle de rotation: 48° ; 20 % bleu et 80 % rouge.		Palette 2 : ton intermédiaire n° 2 ; Angle de rotation: 333° ; 30 % jaune et 70 % rouge.		Répartition du ton final par couleurs en pourcentages : 10 % de bleu, 75 % de rouge et 15 % de jaune.

On tourne chacune des deux palettes au hasard. Quelle est la probabilité que le ton final soit dominé par le rouge?

537-2 Construction sous contrainte (Crux Mathematicorum)

Trois droites parallèles sont données.

Construire un triangle équilatéral avec un sommet sur chaque droite.

537-3 Deux équations diophantiennes (Denis Roussillat)

Résoudre en nombres entiers les deux équations:

\[\begin{aligned}
x^2 + y^2 & = 31 z^2 \\
x^2 + y^2 & = 29 z^2
\end{aligned}\]

537-4 Une fonction homographique particulière

0.6 On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(g(x) =
\dfrac{\ln(x+1)}{x}\) pour \(x > 0\) et \(g(0) = 1\).

Démontrer que l’ensemble des fonctions homographiques, définies sur \(\mathbb{R}^+\) et qui majorent \(g\), possède un plus petit élément.

Exemple d’une fonction homographique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) majorant la fonction \(g\) : \(f(x)=\dfrac{2x+3}{5x+2}\cdotp\)

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