Après le rectangle et le triangle, la figure géométrique la plus simple est le disque. Une première manière de l’obtenir serait de pixeliser le cercle de la même manière que sur un écran d’ordinateur [1]. Il existe cependant une autre manière de procéder en prenant en compte les symétries du cercle. En effet, le cercle est invariant par rotation : il est possible de prendre cette invariance en compte en tricotant non plus en aller-retours, mais de manière circulaire.

Le schéma de tricot du disque est un schéma classique que vous trouverez facilement dans les ouvrages spécialisés. L’incantation est toujours la même quelque soit la grosseur du fil : on commence par un disque de \(6\) mailles puis l’on tricote \(2\) mailles dans une au tour suivant, puis \(3\) mailles dans \(2\) à celui d’après, et ainsi de suite. Ici, l’expression « tricoter \(n+1\) mailles dans \(n\) » peut sembler déroutante, mais il s’agit de tricoter une maille dans toutes les mailles sauf une, dans laquelle on tricotera deux mailles. Le choix de la maille dans laquelle faire cette augmentation peut sembler anodin, mais influera sur la forme finale. En effet, si l’augmentation a toujours lieu au début du groupe de mailles considéré, la forme obtenue sera entre l’hexagone et le disque. Le diagramme correspondant est représenté en figure 5.

Pour des raisons pratiques, les mailles non centrales sont représentées par des trapèzes courbés. Cependant, ce diagramme soulève plusieurs questions :

1. Comment être sûr que l’on obtienne bien une approximation du disque, et non d’un ovale par exemple ?

2. Que se passe-t-il si l’on change les paramètres : si l’on commence avec un autre nombre de mailles, ou si l’on augmente le nombre de mailles différemment ?

Tout d’abord, nous noterons \(h\) la hauteur de la maille et \(l\) sa plus grande largeur, en haut de la maille. Pour connaître le lien entre \(l\) et \(h\), on suppose d’abord que le disque obtenu au premier tour est effectivement un disque (et non un cône par exemple). Cela impose la relation \(2 \pi h= 6 l\). Au \(n\)-ième rang, le périmètre du disque obtenu est \(l N_n\) où \(N_n\) est le nombre de mailles de ce rang d’une part. D’autre part, le rayon du disque alors obtenu est \(nh\) : on a donc aussi la relation \(2 \pi nh = l N_n\). L’unique solution de ce système d’équations est alors \(N_n=6n = N_{n-1} + 6\), qui conduit au diagramme usuel.

Cependant, nous partons ici d’un cercle de \(6\) mailles : que se passe-t-il si nous augmentons ou diminuons ce nombre initial ?

Si le nombre de mailles initiales est inférieur à \(6\), le premier cercle formé est plus petit que \(2 \pi h\) : nous obtenons alors un cône. En effet, notant \(\theta\) l’angle au sommet du cône obtenu, on a les relations suivantes : \begin{align*} 2 \pi h \sin(\theta)&= l N_1 \\ 2 \pi n h \sin(\theta)&= l N_n,\end{align*} ce qui donne \(N_n=n N_1 = N_{n-1} + N_1\). Prenant par exemple \(\theta=30°\), on a \(2 \pi h \sin(\theta) = \pi h = 3l\), d’après ce qui précède : le cône d’angle \(30°\) est alors obtenu en faisant d’abord un cercle de \(3\) mailles puis augmentant de \(3\) mailles à chaque rang. Notez que, comme signalé plus haut, seul un nombre fini de \(\theta\) est effectivement réalisable.

Si le nombre de mailles initiales est supérieur à \(6\), le périmètre du premier cercle formé est plus grand que \(2 \pi h\) : on obtient alors une surface qui a une singularité et qui est euclidienne partout ailleurs. Cela veut dire que le voisinage de chaque point de cette surface, excepté le centre, ressemble à un bout de plan. C’est ici qu’apparaît l’avantage du tricot sur un écran de pixels : il permet de modéliser des surfaces qui ne peuvent pas être représentées dans le plan. Pour obtenir la surface précédente à partir de tissu, il faudrait coudre ensemble deux disques en tissu sur lesquels des morceaux auraient été enlevés, comme dans la figure 8 ci-dessous.

Figure 8. Disques de tissu à recoller suivant la ligne bleue pour obtenir une surface correspondant à une réalisation dont le nombre de mailles initial est supérieur à \(6\).

Que se passe-t-il maintenant si l’on change la manière d’augmenter le nombre de mailles d’un rang à l’autre ?

Supposons que \(N_n = f(N_{n-1})\), avec \(N_0=0\) par convention. On a vu plus haut que si \(f(x)=x+b\), l’objet obtenu est un disque si \(b=6\), un cône si \(b <6\) et une composée de deux pacmans sinon.

Figure 9. Réalisations pour \(b=4\), \(b=6\) et \(b=8\). À droite, détails pour \(b=8\).

Le point commun de ces trois cas est que, mis à part au centre, le voisinage de tout point ressemble à un morceau de plan. On obtient donc une surface euclidienne.

Si \(f(x)=ax\), avec \(a>1\), la surface obtenue est hyperbolique. Nous traiterons ce cas dans la section suivante.

Nous ne traiterons pas ici le cas de la sphère, mais celui-ci a été traité à différentes reprises sur la toile (, ).

Crochet hyperbolique

La plupart des espaces considérés dans la vie courante sont euclidiens, il existe cependant d’autres types de géométrie. Le globe terrestre est ce qui s’appelle un espace sphérique : deux navettes partant dans la même direction se rapprocheront toujours. Imaginez maintenant un monde où deux navettes se dirigeant dans la même direction s’éloigneraient, au contraire, l’une de l’autre. Un espace vérifiant cette propriété est un espace hyperbolique. C’est ce type d’espace que l’on obtient en crochetant \(a\) mailles dans chacune des mailles du rang précédent, pour \(a>1\). Des réalisations concrètes de ce genre de surface sont représentées figure 10.

Figure 10. Trois surfaces hyperboliques, photographiées par Éric Le Roux, UCBL.

Les surfaces hyperboliques du type de celle représentée en figure 11 sont appelées pseudo-sphères hyperboliques et ont été utilisées pour représenter des coraux lors de l’exposition coral reef .

Figure 11. Pseudo-sphère hyperbolique.

Pour plus d’informations sur le crochet hyperbolique, de nombreux tutoriels et réalisations sont disponibles sur les blogs [2] [3] [4]. Henderson et Taimida étudient de plus dans l’article [5] le plan hyperbolique.

Ruban de Möbius, bouteille de Klein et surface de Boy

Le tricot est aussi d’une redoutable efficacité pour la représentation spatiale de surfaces non orientables. L’exemple le plus simple d’une telle surface est le ruban de Möbius. Il est possible de le construire en prenant une bande de papier dont on recolle ses extrémités en faisant les faisant coïncider comme indiqué ci-dessous.

Figure 12. Modèle du ruban de Möbius.	Figure 13. Ruban de Möbius photographié par Éric Le Roux, UCBL.

La surface est dite non-orientable parce qu’il est impossible de distinguer un dessus et un dessous  : si l’on commence à colorier l’un des côtés d’une couleur, tout le ruban de Möbius sera uniforme à la fin de la coloration. Cette surface a notamment été rendue célèbre par le tableau correspondant d’Escher, sur lequel des fourmis le parcourent.

L’avantage du tricot sur le papier est qu’il permet de créer un ruban de Moebius sans aucune couture, ni collage. Pour ce faire, il suffit de piquer dans l’arrière de la première maille du rang à la fin du premier rang et de continuer à tricoter en rond. Une réalisation au crochet d’un ruban de Möbius est visible sur la figure 13.

Figure 14. Modèle de la bouteille de Klein.	Figure 15. Bouteille de Klein.

Une autre surface non orientable réalisable au tricot avec une seule couture est la bouteille de Klein. Elle peut être obtenue en recollant ensemble les bords d’un ruban de Möbius, comme indiqué figure 14. Le recollement des côtés bleus donne un ruban de Möbius qui a un unique bord vert. On recolle ensemble les points de ce bord de part et d’autre du ruban. Le résultat obtenu est visible figure 15. Le nom « bouteille » vient du fait qu’elle peut être obtenue en reliant le fond d’une bouteille à son goulot.

Une dernière surface non orientable réalisable au tricot sans couture est la surface de Boy. Elle peut être décrite comme le recollement du bord d’un disque sur le bord d’un ruban de Möbius. Il est donc possible de la réaliser en tricotant un ruban de Möbius puis en diminuant petit à petit le diamètre du tricot. Lors de cette opération, la surface s’auto-intersecte, c’est-à-dire qu’il faut faire passer les mailles au travers du tricot déjà réalisé.

Figure 16. Surface de Boy sous différents angles.

En conclusion, il y a un apport réciproque entre mathématiques et tricot. L’étude mathématique de surfaces permet leur réalisation d’une part. D’autre part, le tricot est un fabuleux médium pour la réalisation facile et concrète des surfaces mathématiques dans un matériau économique et souple. Pour finir, nous n’avons présenté ici qu’une partie des réalisations possibles : de nombreux autres objets mathématiques ont été réalisés, tels que les noeuds et entrelacs (), les surfaces de Seifert (, ), des automates cellulaires, des représentations de nombres premiers, et beaucoup d’autres (, ).

Références

[1] F.Boucher « Cercles discrets ». APMEP. In : Au fil des maths n°530 (2018), pp 50-66.
[2] Blog Math and Fiber
[3]Blog de Daina Taimina
[4]Blog The home of Mathematical knitting
[5]D. Henderson et D. Taimida. « Crochetting the hyperbolic plane ». In : Mathematical Intelligencer Volume 23. n°2 (2001) pp 17-28

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Bérénice Delcroix-Oger est maître de conférences à l’université de Paris, à l’Institut de Recherche en Informatique Fondamentale (IRIF). Elle est spécialisée en combinatoire algébrique, et réalise des surfaces au crochet à ses heures perdues.