La question précédente devient abordable avec un soupçon de prise d’initiative. L’exercice bateau \(\left\lfloor\dfrac{\lfloor{n\,x}\rfloor}{n}\right\rfloor=\lfloor x \rfloor\) (\(n\) est entier) est lui quasi-mécanique et d’intérêt modeste quoiqu’une égalité de la forme \(\lfloor u \rfloor = \lfloor v \rfloor\) puisse s’interpréter, dans le schéma précédent, de deux façons. Bien plus intéressante est l’étude de la suite (de rationnels) \(\left(\dfrac{1}{n}\lfloor n\,x \rfloor \right)\), en particulier si \(n=10^p\), qui fournit la suite des valeurs décimales approchées par défaut de \(x\). Un lycéen malin pourra aussi exprimer la \(n\)-ième décimale d’un réel en utilisant la partie entière.

Mais posée à un étudiant, la question : « on sait que \(x\) peut s’écrire \(3+\dfrac{1}{7}\) ; que peut-on dire sur \(x\) ? » obtiendra la seule timide réponse : \(x=\dfrac{22}{7}\) ; « certes, mézencor ? ». On peut en profiter pour demander de définir une division euclidienne de \(a\) par \(b>0\) dans \(\mathbb{R}\) en justifiant l’appellation de division euclidienne. Par exemple, diviser \(\pi\) par \(\sqrt{2}\) ; réponse probable : \(\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\cdotp\)

la partie entière est un entier, donc elle doit bien compter quelque chose… On peut alors songer à exprimer le nombre d’entiers appartenant à un intervalle borné ; par exemple, le nombre d’entiers de l’intervalle \(]a,\,b]\) est \(\lfloor b \rfloor – \lfloor a \rfloor\) qui mérite certainement d’être posée en question ouverte. Et il y a trois autres sortes d’intervalles bornés. Ensuite comprendre l’égalité \(\left\lfloor x+\dfrac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2\,x \rfloor -\lfloor x \rfloor\), puis sa signification d’entier le plus proche de \(x\).

Chez les étudiants post-bac, deux attitudes sont bien installées : la fuite qui consiste, quelle que soit la situation et quoi qu’il en coûte, à se débarrasser de ces vilaines barrières qui empêchent de calculer tranquillement, parfois en distinguant deux cas : \(x \geqslant 0\) et \(x \leqslant 0\), pardi, et le déni qui consiste à faire comme si les barrières étaient bien là mais invisibles.

On peut traduire la définition par une égalité de plusieurs façons : \[|x|=y \textrm{ sssi } ( x \geqslant 0 \textrm{ et } y = x)\textrm{ ou } (x \leqslant 0 \textrm{ et } y = -x)\] qui montre déjà la complexité logique de cette définition et sa grande difficulté d’emploi. Plus simplement : \[|x|=y \textrm{ sssi } y \geqslant 0 \textrm{ et } x^2 = y^2\]

Ici, l’égalité \(y=|x|\) est sans doute préférable. En français, \(|x|\) est la solution positive de l’équation \(x^2-y^2=0\) (inconnue \(y\)) ; en particulier, on a \(|x|^2=x^2\) et \(|-x|=|x|\). Notons que le programme actuel de Seconde (2019) propose l’utilisation de \(|x|=\sqrt{x^2}\) peut-être parce que nos élèves sont très à l’aise avec \(\sqrt{~\cdot~}\) ; il doit être intéressant de faire tracer la courbe d’équation \(|x|+|y|=1\)¹.

Dans les cours post-bac, on préférera la définition \(y = |x| \textrm{ ssi } y = \max\{x,\,-x\}\) ; en français, \(|x|\) est le plus grand des deux nombres \(x\) et \(-x\) (donc \(x \leqslant |x|\) et \(-x \leqslant |x|\)) ; insistons : cette forme est plus opératoire que le raccourci \(|x|=\max\{-x,\,x\}\). Ces traductions (ou définitions) sont plus orientées vers les inégalités ce qui n’est pas le cœur de notre sujet.

Pour terminer, un changement de registre très pertinent, en introduisant une droite graduée par un repère \((\mathsf{O},\,\mathsf{I})\) et en dénotant \(\mathsf{M}_x\) le point d’abscisse \(x\) \[|x |=y \textrm{ sssi } \mathsf{OM}_x=y\] en français, \(|x|\) est la distance de l’origine au point d’abscisse \(x\). Bien sur, \(|b-a|=\mathsf{M}_a\mathsf{M}_b\) est de première importance.

Les fonctions affines

Dans les définitions proposées en Troisième ou en Seconde, la forme \(x \longmapsto a\,x+b\) apparaît comme essence de la définition, avec deux paramètres qu’il conviendrait d’ailleurs de ne pas s’empresser de cacher sous une pluie d’exemples, surtout avec des valeurs entières comprises entre \(-3\) et \(3\) et en évitant \(a=0\).

Mais pour définir ainsi l’objet « fonction affine », c’est-à-dire l’ensemble des fonctions affines quand bien même cet ensemble ne serait pas étudié pour lui-même, il ne suffit pas d’exhiber l’écriture \(x \longmapsto a\,x+b\) ; il est utile d’en étudier l’unicité (ce qui est fort simple), unicité qui s’avère précieuse : mieux, quelque soit le système de nombres considéré (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\)) on a l’équivalence \[x \longmapsto a\,x+b = x \longmapsto a’\,x+b’ \textrm{ sssi } a=a’  \textrm{ et } b=b’ \]

Ce point trouvera un écho dans la démonstration de la nature géométrique de la représentation graphique dans un repère quelconque, pas nécessairement orthonormal, et aucun élève ne devrait être surpris que deux points sont suffisants pour déterminer une droite. Bon, utiliser le théorème de Thalès avec des distances n’est sans doute pas optimum mais ce n’est qu’une petite facétie de l’institution ; à quand la restriction du corpus aux seuls réels positifs ?

La réciproque de cette propriété est, elle aussi, bien digne d’intérêt : toute fonction dont la représentation graphique est une droite, est affine.

Une autre écriture, avec unicité, d’une fonction affine est étonnamment rare dans les manuels ; la forme factorisée, dont l’utilité est indéniable : \(a\,x+b=a\,\left(x-\left(-\dfrac{b}{a}\right)\right)=a\,(x-\alpha)\).

Ce qui vient d’être dit vaut pour les fonctions dites « polynômes du second degré » dont l’unicité d’écriture peut être obtenue somme toute fort simplement. Une récurrence forte (pas très simple il est vrai) permet de traiter le cas des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).

Puisque le programme introduit la fonction exponentielle comme solution d’une équation fonctionnelle, il est peut-être pertinent que nos élèves fréquentent assez tôt l’idée de propriété fonctionnelle en allant au delà de celle de formules. Ce point est déjà délicat à comprendre.

L’égalité dans les systèmes de nombres

La question examinée est la suivante : pour les systèmes de nombres étudiés dans la scolarité, quels sont les outils « primitifs » — c’est-à-dire donnés avec la définition de ces systèmes — qui permettent d’y démontrer l’égalité de deux éléments ?

Nous allons voir, que faute de définition appropriée, ces outils primitifs n’existent pas. C’est la structure portée par ces ensembles qui les fournira.

Les entiers

Soient \(p\) et \(q\) (les signes de) deux entiers naturels supposés définis par un procédé quelconque ; comment démontrer (ou nier) l’égalité \(p=q\) ?

On a supposé que les entiers sont un donné de l’entendement de l’espèce humaine. Les intuitionnistes contesteront le fait que l’ensemble de tous les entiers nous soit ainsi donné d’un coup, mais l’infini potentiel suffira.

Supposons donc le système de nombres \((\mathbb{N},\, +,\,\times,\, \hat{},\,\leqslant,\, | )\) en place. On a alors au moins deux théorèmes de représentation des entiers qui sont aussi des théorèmes d’unicité d’écriture : celui fournit par les systèmes de numération de position à base avec zéro et le théorème dit de factorisation unique.

La numération (de position en base dix avec zéro) est une belle et grande affaire de la scolarité (et de l’humanité) normalement acquise à l’entrée au collège. L’unicité d’écriture fonctionne implicitement dans la validation d’égalités particulières (\(3 \times 6 = 20-2\)) mais disparaît derrière le calcul faute d’être sollicitée par des problèmes appropriés. Il faut dire que ce concept d’unicité d’écriture est bien difficile et nos élèves (et étudiants) ne semblent sensibles qu’à ce qu’ils peuvent ranger sous la rubrique « identification ».

Il convient sans doute de distinguer le cas où l’on considère des entiers particuliers (égalité) de celui où l’on considère des entiers arbitraires (identité).

Les rationnels

Admettons qu’on dispose d’un ensemble \(\mathbb{Q}\) de nombres appelés nombres rationnels, auxquels on accède par des écritures dites fractionnaires ayant diverses significations, certaines très concrètes. Cet ensemble est érigé en système avec des opérations et un ordre.

On dispose d’une première représentation avec unicité (modulo les signes toutefois et en excluant \(0\)) : la fraction irréductible \(\dfrac{a}{b}\cdotp\) On dispose par ailleurs d’une condition nécessaire et suffisante d’égalité des fractions : l’égalité du produit des « extrêmes » et du produit des « moyens » comme on disait jadis. Mais bien d’autres possibilités sont envisageables, fondées sur l’interprétation des fractions proposées.

Yves Chevallard a malicieusement fait remarquer que, contrairement à une opinion fort répandue, la calculatrice peut être un excellent outil pour démontrer l’égalité de deux rationnels.

On dispose d’une autre représentation qui est celle des développements décimaux illimités périodiques, pour lesquelles on a unicité dans le cas des rationnels non décimaux (et \(0\)). Pour les décimaux, on tombe sur la question \(0,\overline{9}=1\), un vrai problème qui demande un vrai débat.

On pourra consulter l’article [2] qui donne des algorithmes pour les quatre opérations.

Achevons cette promenade dans les rationnels avec une dernière représentation : le développement en fraction continue.

La documentation sur les fractions continues est surabondante et l’APMEP y a grandement contribué ; il n’est pas utile de développer plus avant une notion dont il faut savoir qu’elle occupe une place centrale dans l’histoire des mathématiques, de l’antiquité à l’époque moderne, et qu’elle fournit une incroyable profusion de situations de calculs et de problèmes sur les nombres, il est vrai essentiellement dans des problèmes d’approximation.

Les nombres algébriques

Un nombre algébrique est un nombre, éventuellement complexe, racine d’un polynôme à coefficients entiers. Un nombre qui n’est pas algébrique est appelé un nombre transcendant. Outre les rationnels, \(\sqrt{2}\) et \(\text{i}\) sont deux exemples, \(\pi\) et \(\text{e}\) sont LES contre-exemples mais leur transcendance est hors de portée du lycée².

Les plus simples des nombres algébriques irrationnels sont les \(\sqrt{n}\), pour \(n\) entier non carré. On peut sans doute affirmer qu’une bonne partie du calcul scolaire se passe dans l’extension \(\mathbb{Q}(\sqrt{k}, k \in [\![2,\,n]\!])\) avec \(n\) pas trop grand. La définition générale de la racine carrée

si \(r\) est un réel positif³, \(\sqrt{r}\) désigne l’unique réel positif dont le carré est \(r\)

pose le problème de l’existence, l’unicité étant simple. La figure suivante résout le problème géométriquement de façon satisfaisante en attendant la Terminale où l’on saura apporter des réponses diversifiées à cette existence, ce qui n’interdit pas de proposer des algorithmes d’approximation très tôt : « existe-t-il un nombre décimal dont le carré est 10 ? » est une activité pertinente dès que les décimaux sont connus.

La définition de nom de la racine carrée se traduit par une condition nécessaire et suffisante d’égalité : \[x=\sqrt{r}\ \textrm{ sssi } x \geqslant 0 \textrm{ et } x^2=r\] qui se généralise à la définition des racines \(n\)-ièmes.

Les racines des polynômes du second degré à coefficients entiers et à discriminant non nul sont sans aucun doute les nombres algébriques les plus fréquentés par les lycéens : \(r+s\sqrt{t}\) avec \(r,\,s \in \mathbb{Q}\) et \(t \in \mathbb{N}\) non carré. Il y a presque unicité d’écriture — question digne d’intérêt.

On peut observer que pour les nombres algébriques, la remarque de Chevallard sur l’utilité des calculatrices s’applique aussi bien et se met assez simplement en évidence sur un exemple de la forme \(a\sqrt{b}=\sqrt{c}\) avec \(a,\,b,\,c\) rationnels.

On peut envisager des égalités entre nombres algébriques plus intéressantes que l’élimination des radicaux du dénominateur. Une idée simple est qu’un nombre algébrique est presque caractérisé par le polynôme de degré minimal dont il est racine. Ainsi \(\sqrt{3}\) est caractérisé au signe près par le polynôme \(x^2-3\) et \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) par le polynôme \(x^4-16\,x^2+4\) et l’intervalle \([3,\,4]\) ; ce polynôme « minimal » permet de prouver (par le pair et l’impair) que \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) n’est pas rationnel (ce qui change du sempiternel \(\sqrt{2}\)).

Toutes sortes d’activités d’obtention/négation d’égalités sont possibles avec des nombres algébriques. Le fameux nombre d’or \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) racine positive du polynôme \(x^2-x-1\) est sans doute le plus célèbre et a fait l’objet d’innombrables publications. Un point intéressant est le calcul dans \(\mathbb{Q}[X]\) modulo \(X^2-X-1\) qui est exactement \(\mathbb{Q}[\varphi]\), type de calcul qu’on retrouvera avec \(\mathbb{C}\) qui est aussi bien \(\mathbb{R}[\text{i}]\) que \(\mathbb{R}[j]\) ou que \(\mathbb{R}[X]/(X^2+X+1)\).

Terminons avec une caractérisation des nombres algébriques de degré 2 par la périodicité de leur développement en fraction continue due à Lagrange (1768). Si \(x \notin\mathbb{Q}\), les relations de récurrence \(x_0= x\), \(x_{n+1}= \dfrac{1}{\{x_n\}}\) et \(r_{n}=\lfloor x_n \rfloor\) définissent une suite d’entiers \((r_n)\) et on peut démontrer que la suite de rationnels \(\left([x_0,\,x_1,\, \cdots,\,x_n]\right)\) converge vers \(x\) mais ce résultat n’est pas utile dans sa généralité.

La démonstration générale de la périodicité n’est pas simple mais peut-être accessible à un lycéen. L’argument est tout-à-fait semblable à celui qui permet de démontrer que le développement décimal des rationnels non décimaux est périodique : une infinité d’entiers ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs. On la trouvera, limpide, dans le petit bijou de Jean Itard [3] ; la clé est la mise en évidence d’un invariant.

La motivation est de fournir des contextes de calcul riches et des calculs non triviaux sans être déraisonnables.

Pour clore cette section, un exercice de contemplation.

Anthyphérèse est le nom qu’Euclide donnait à son algorithme (qui n’était sans doute pas « le sien ») qui concerne des grandeurs. Il consiste, étant données deux grandeurs inégales, à retirer toujours la plus petite de la plus grande ; si le processus conduit à deux grandeurs égales, il fournit une commune mesure des deux grandeurs de départ ; si le processus est illimité, les deux grandeurs sont incommensurables.

La figure ci-contre illustre l’application de l’anthyphérèse à la diagonale du carré et à son côté. À la deuxième étape, on aboutit au demi-carré \(OA_2A_3\) semblable à \(OA_1A_0\) : donc le processus ne se termine pas, la diagonale et le côté sont incommensurables.

Mais il y a plus : un œil moderne y lit le DFC de \(\sqrt{2}\) : \([1,\,2,\,2,\,\cdots]\). Le lecteur appréciera la beauté géométrique du procédé.

Les réels

Comment démontrer que deux nombres réels (non algébriques) sont égaux (ou inégaux) ? Faute d’une définition de \(\mathbb{R}\), il n’y a pas de méthode générale, chaque égalité est particulière. On ne dispose même pas d’une représentation d’un réel quelconque, comme on en dispose pour les autres systèmes de nombres, puis plus tard pour les complexes ou encore plus tard pour les matrices : soit \(x \in \mathbb{R}\) ; que peut-on écrire après le signe égale \(x=?\). Il y a certes des développements décimaux illimités mais condamnés à l’exil.

Il est assez extraordinaire qu’Eudoxe (IV siècle avant J.C.) qui ne disposait certes pas du concept de nombre réel, mais de celui de rapport de deux grandeurs de même espèce (longueur, aire, volume), ait réussi à définir l’égalité de deux tels rapports (ce qu’on appelle depuis une proportion) ; en notations très anachroniques mais plus intelligibles pour le lecteur du XXI^e siècle : soient \(A,B\) et \(C,D\) deux couples de grandeurs de même espèce ; alors \[\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\textrm{ ssi pour tous } p,\,q \in \mathbb{N}^{\ast}, \begin{cases} p\,A > q\,B \textrm{ implique } p\,C > q\,D \\
p\, A = q\, B \textrm{ implique } p\,C = q\,D \\ p\,A < q\,B \textrm{ implique } p\,C < q\,D \end{cases}\]

On a envie de voir dans cette définition les prémisses de la définition des coupures de Richard Dedekind.

Les propriétés (admises ou démontrées) de l’ensemble \(\mathbb{R}\) vont fournir tous les outils utiles :

• la structure de corps commutatif totalement ordonné, structure qui reste implicite dans la scolarité mais qui est présente sous la forme d’un catalogue de propriétés se constituant à la demande et à dire vrai plus ou moins disponibles ;

• l’archimédie ; on en déduit la densité de \(\mathbb{Q}\) (ou de \(\mathbb{D}\)) dans \(\mathbb{R}\) en formalisant la preuve visuelle ci-dessous :

  

  En particulier, si \(x \in \mathbb{R}^+\) quelque soit l’entier \(q\), il existe \(p\) tel que \(\dfrac{p}{q} \leqslant x < \dfrac{p+1}{q}\) ; c’est la notion d’approximation rationnelle de \(x\) à \(\dfrac{1}{q}\) près ; en cette époque du tout séquentiel, on préfère parler de suite de rationnels convergeant vers \(x\).

  Il s’agit d’une propriété fondamentale au sens premier : tout irrationnel est limite d’une suite de rationnels. À la question : « soit \(x \in \mathbb{R}\) ; que peut-on dire ? » la réponse est : « il existe une suite \((r_n)\) de rationnels telle que \(x = \lim r_n\) ». Et si \(y\) est un deuxième nombre réel, limite des rationnels \(s_n\), il suffira de démontrer que \((r_n-s_n)\) converge vers \(0\) pour avoir \(x=y\).

  L’archimédie permet tout aussi bien de définir la partie entière ce qui conduit aux approximations décimales \[\textrm{pour tout}\ n \in \mathbb{N},\ 10^{-n}\lfloor 10^n\,x \rfloor \leqslant x < 10^{-n}\left(\lfloor 10^n\,x\rfloor+1\right)\] approximations plus familières sans doute à nos élèves ;

• le théorème de la convergente croissante majorée (faux dans \(\mathbb{Q}\)) qui achève de caractériser pleinement \(\mathbb{R}\) ;

• il convient d’ajouter une propriété qui accompagne les élèves tout au long de leur scolarité : la représentation des nombres sur une droite graduée, représentation « complète » avec les réels (c’est un axiome de la géométrie). Cette représentation intuitive est certainement pertinente pour l’intelligence des réels à la condition d’être travaillée et qu’il ne faudrait pas considérer comme allant de soi.

  Toutes les opérations peuvent être représentées sur une droite graduée en plongeant éventuellement la droite considérée dans le plan ; en géométrie plane repérée, toutes les fonctions usuelles peuvent être construites avec l’outil lieu des logiciels de géométrie dynamique.

  Il existait jusque dans le milieu du XXe siècle, un corpus de savoirs et de techniques rassemblés dans l’appellation de « calcul graphique » aujourd’hui oubliés de la communauté des enseignants de mathématiques (mais pas de celle des collègues de sciences de l’ingénieur) ; quelques historiens, comme Dominique Tournès, s’efforce de ramener dans notre mémoire collective ce précieux capital culturel [5].

Nous allons donner quelques preuves d’égalités qu’à une époque ou à une autre, l’institution a estimé utile d’être enseignées. Le mot « preuve » est employé à dessein à la place de celui de démonstration pour en accentuer la composante psychologique : d’abord faire comprendre ce qui est en jeu, « éclairer » dirait Clairaut, au prix d’éventuelles entorses à la rigueur d’aujourd’hui.

L’aire du rectangle

Illustrons la façon dont on utilisait jadis une condition simple d’égalité des réels \(x\) et \(y\) : pour tout \(\varepsilon>0\), \(|x-y| \leqslant \varepsilon\) sur l’exemple de l’« aire » du rectangle. L’archimédie permet de se limiter à une suite de \(\varepsilon\) de la forme \(\dfrac{1}{n}\cdotp\)

Le lecteur ne manquera pas de relever les implicites voire les lacunes de ce texte qui n’est finalement qu’une démonstration de continuité du produit \((x,\,y) \longmapsto x\,y\) mais l’intérêt est ailleurs.

Le théorème de Thalès

Il s’agit de prouver une égalité de rapports de longueur. Renvoyons le lecteur à l’article [6] de Pierre Legrand paru dans cette excellente revue qu’est Au Fil des Maths. La similitude avec la preuve précédente est patente.

La dérivée de sin

Tout se ramène à démontrer que \(\displaystyle \lim_{\stackrel{\scriptstyle x \to 0}{x>0}}\dfrac{\sin(x)}{x}=1\).

Supposons \(0<x<\dfrac{\pi}{2}\) ; la figure parle d’elle-même : on y lit les inclusions

\(\rm{triangle}(OPM) \subseteq \rm{secteur}(OAM) \subseteq \rm{triangle}(OAT)\)

ou tout aussi bien avec des longueurs

\(PM \leqslant AM \leqslant \rm{arc}(AM) \leqslant AS+SM \leqslant AT\)

donc \(\displaystyle \sin(x) \leqslant x \leqslant \tan(x)\)

d’où l’on déduit \(\displaystyle 0 \leqslant 1-\dfrac{\sin(x)}{x} \leqslant 1-\cos(x)\).

Puis \(1-\cos(x)=PA \leqslant AM \leqslant x\) d’où la conclusion.

Cette très belle démonstration a été contestée pour manque de rigueur puis abandonnée par l’institution. Coucou, elle revient dans les programmes de CPGE. C’est un travail d’enquête intéressant d’en chercher les lacunes et de voir comment elles pourraient être corrigées, selon le niveau considéré !

Bien d’autres questions d’égalité mériteraient d’être convoquées ici : les démonstrations par exhaustion utilisées par les mathématiciens grecs antiques — Euclide, Archimède — pour la « mesure » du cercle ou de la spirale d’Archimède, la quadrature du cercle, de la parabole, le cubage de la pyramide, de la sphère. On pourrait aussi convoquer les indivisibles de Bonaventura Cavalieri avec la quadrature de la cycloïde ; toutes ces questions sont abondamment documentées et susceptibles de nourrir le travail sur l’infini (chercher « méthode d’exhaustion » et « méthode des indivisibles » dans les mots-clés sur publimath).

Quelques égalités célèbres

Nous excluons tout ce qui relève de techniques algébriques, y compris celles mettant en jeu les fonctions « transcendantes » trigonométriques, exponentielles, logarithme, comme l’égalité classique \[\cos\dfrac{2\,\pi}{7}+\cos\dfrac{4\,\pi}{7}+\cos\dfrac{8\,\pi}{7}=-\dfrac{1}{2}\]

Ce qui différencie fondamentalement le calcul dans \(\mathbb{Q}\) de celui dans \(\mathbb{R}\), c’est l’intervention de procédés mettant en jeu l’infini, ou pour le dire autrement des limites : convergence de suites, continuité de fonctions, dérivation, intégration …

Série géométrique

\[\boxed{\textrm{ si } q \not = 1 \quad \sum_{k=0}^n q^k=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1} \textrm{ et pour } |q|<1,\ \lim_{n \to \infty}\left\{\sum_{k=0}^n q^k \right\}=\dfrac{1}{1-q}}\]

On sait l’incroyable difficulté des élèves (et étudiants) à enregistrer correctement ces informations et ne parlons pas de celle pour retrouver/autocontrôler une formule d’usage constant.

Pour varier les plaisirs, voici une preuve visuelle tirée du livre de Nelsen [7] qui en contient des centaines, preuve qui se passe de commentaire : le décodage fait partie de la lecture.

Les triangles \(ABC\) et \(EDA\) sont semblables ; donc …

C’est la proposition 35-IX des Éléments d’Euclide.

Formule de Leibniz

\[\boxed{1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots=\dfrac{\pi}{4}}\]

Cette très belle égalité a fait l’objet d’au moins un sujet de baccalauréat : Nouvelle-Calédonie, 1986.

La première étape est d’obtenir l’égalité \[1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\text{d}x\] par une majoration d’intégrale.

La deuxième est de calculer l’intégrale, ni la fonction \(\arctan\), ni a fortiori sa dérivée n’étant connues. Il est facile de faire retrouver cela, y compris avec les outils du programme actuel. Je ne résiste pas à la tentation de proposer un calcul graphique imaginé par le mathématicien danois Aage Bondesen, empruntée à Nelsen.

On applique la méthode des rectangle à la fonction \(t \longmapsto \dfrac{1}{2\,(1+t^2)}\) sur l’intervalle \([0,\,1]\) et transférée au huitième de cercle.

Le nombre d’Euler

\[\boxed{\lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\text{e}\;(= \text{exp}(1))}\]

Si on dispose de la fonction logarithme, la question est vite réglée ; rappelons à ce sujet le rôle essentiel des inégalités \(\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x\) dans toute l’analyse élémentaire.

Mais peut-on déduire, sans détour déraisonnable et en restant dans le cadre du lycée, cette limite de la définition de la fonction exponentielle : \(\text{exp}’ =\text{exp}\) et \(\text{exp}(0)=1\) ?

La réponse est (presque) positive et s’appuie sur la méthode d’Euler relative à la résolution approchée des équations différentielles. L’intérêt est d’expliquer une origine de la suite des \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdotp\) Les logiciels de géométrie dynamique permettent d’illustrer parfaitement la méthode (moyennant un labeur certain).

Un développement du nombre d’or

Illustrons une question type du baccalauréat de ces dernières années à base de « suite récurrente ». Soit à démontrer l’égalité

\[\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdotp\]

Il semble bien que, l’évaluation bienveillante aidant, la précision dans la justification des « passages à la limite » a été laissée à la charge des cursus ultérieurs, ce qui se conçoit bien. Les étudiants de première année du supérieur ont bien du mal à comprendre qu’on ne puisse se satisfaire, au moins dans une première phase de mise au clair des déductions, du magique « en passant à la limite, on a … ».

Conclusion

Cette promenade dans les ensembles de nombres avait pour intention de pointer une difficulté d’importance pour l’enseignement : toute définition raisonnable d’un objet mathématique, donc d’un ensemble, devrait s’accompagner d’une définition pratique de l’identité dans cet ensemble.

Les lignes précédentes ont au moins mis en avant une évidence : dans le domaine numérique, égalité et inégalité sont inséparables ; Michel Serfati a bien mis en relief le nécessaire développement simultané de ces deux figures constitutives de l’écriture symbolique : le « deux-traits » de Recorde et les « coins » d’Harriot [8].

Références

1. Alain Duroux. « La valeur absolue : difficultés majeures pour une notion mineure ». In : Petit \(x\) n° 3 (1983). , p. 43-67. 

2. Benoît Rittaud et Laurent Vivier. Algorithmes des 4 opérations de base sur les rationnels en écritures décimales. Disponible sur HAL : . 2011. 

3. Jean Itard. Arithmétique et théorie des nombres. Coll. Que sais-je ? PUF, 1967. 

4. Jean Dhombres. Nombre, mesure et continu. Sur Publimath, la page possède un lien vers une version de 1976. CEDIC/NATHAN, 1978. 

5. Dominique Tournès. « Pour une histoire du calcul graphique ». In : Revue d’histoire des mathématiques n° 6 (2000). Consulter , p. 127-161. 

6. Pierre Legrand. « Thalès et ses mystères ». In : Au fil des maths n° 539 (janvier-mars 2021). 

7. Roger Nelsen. Preuves sans mots. Hermann, 2013. 

8. Michel Serfati. La révolution symbolique. Éditions PETRA, 2005. 

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L’auteur, à la retraite depuis quelques années, continue de s’intéresser aux mathématiques et à leur enseignement.

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1. Puis, en sens inverse, de demander une équation pour un parallélogramme…↩︎

2. L’irrationalité est par contre classique mais pas simple↩︎

3. Rappelons que \(0\) est positif.↩︎