Jeux de boules

On appelle nombres figurés les nombres entiers qui peuvent être représentés par un ensemble de points disposés régulièrement suivant une figure géométrique.
Henry Plane présente ici quelques résultats concernant ces nombres, en considérant le cas particulier, cher aux artilleurs, des assemblages de sphères.

Henry Plane

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    1. Boèce n’est pas le seul dont les travaux portent sur ces nombres encore qualifiés de figurés. Les Pythagoriciens les étudièrent. À cette fin le gnomon était leur outil. On dispose également vers le  siècle de notre ère des travaux rédigés en grec et par suite longtemps oubliés de Théon de Smyrne et de Nicomaque de Gérase. Boèce s’inspira de ce dernier. Il y eut encore Cassidiore à la fin du  siècle. Au Maghreb on citera Ibn Al Banna au  siècle et Ali El Galasadi au  siècle qui se penchèrent sur la question. Tartaglia dans ses « Questions et inventions variées » de 1546 fit appel aux nombres figurés pour disposer des bataillons de fantassins.

    1. On peut conduire autrement les calculs selon le principe des différences finies.
      Par récurrence on sait que \(S_1=1+2+3+\cdots+n\) est un polynôme du deuxième degré \(\dfrac{1}{2}(n^2+n)\) et que \(S_2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\) sera un polynôme du troisième degré \(S_2=An^3+Bn^2+Cn+D\).
      Si on calcule \(\Delta _n =S_2(n+1)-S_2(n)=3An^2+(3A+2B)n+(A+B+C)\) qui, par définition, est \(\Delta _n =(n+1)^2\) il ne reste qu’à identifier les deux expressions.
      On a : \(3A=1\), \(3A+2B=2\), \(A+B+C=1\) qui induisent \(A=\dfrac{1}{3}\), \(B=\dfrac{1}{2}\) et \(C=\dfrac{1}{6}\), et avec \(S_2(1)=1\) on a \(D=0\).
      Donc \(S_2(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x=\dfrac{1}{6}x(x+1)(2x+1)\).
      Le procédé, comme celui de Pascal, se généralise pour calculer la somme de puissances quelconques.

    1. En 1920 dans ses Exercices de mathématiques générales, Bouasse proposait encore ces dénombrements à ses étudiants. Il voyait dans cette dernière figure une pyramide à base carrée d’arête \(n\) sur laquelle s’appuient \((q-1)\) triangles de nombres triangulaire somme des \(n\) entiers de \(1\) à \(n\). \(L_q^n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(q-1)\dfrac{n(n+1)}{2}\cdotp\) On retrouve \(L_q^n=\dfrac{n(n+1)(2n+3q-2)}{6}\cdotp\)

  1. Cf. Molière, Le Misanthrope, Acte I, scène 2 .

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