Un soupçon de géométrie, une pincée d’algèbre et quelques racines carrée

Pour le plaisir de la (re)découverte ou pour imaginer de nouvelles pistes d’activités avec les élèves, quelques calculs autour des racines carrées à partir de matériaux historiques.

Marie-Line Moureau

© APMEP Juin 2023

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Un point sur les notations

Les mathématiques se sont longtemps écrites en mots et non en symboles et les mathématiciens ont calculé dès la plus lointaine antiquité avec des racines carrées sans avoir de notation spécifique. Si la notation avec radical a précédé l’invention et l’utilisation du signe $=$ ¹, elle est assez récente en regard de la très longue histoire des mathématiques. Les historiens s’accordent en effet pour l’attribuer à Christoff Rudolff dans Die Coss (1525) où il introduit la notation √. La raison du choix de ce signe est controversée.

Cette notation ne s’est pas imposée tout de suite. Le R majuscule, éventuellement barré obliquement, utilisé par Fibonacci dans son Practica geometriæ de 1220 a continué à avoir de nombreux adeptes. Mais, que ce soit avec l’une ou l’autre de ces notations, une difficulté demeure, relative à la place laissée aux ambiguïtés : le système de parenthésage n’existant pas, comment faire la distinction entre racine carrée de $16$ à laquelle on ajoute $9$, soit $13$, et la racine carrée de $16+9$, soit $5$ ?

Chaque mathématicien a essayé de lever cet obstacle et a adopté son propre codage; par exemple, pour n’en citer qu’un, Rafael Bombelli dans son traité L’ Algebra de 1572 utilise Rc pour racine cubique et Rq pour racine carrée, et inscrit si nécessaire l’expression entre deux L, le dernier à l’envers.

La figure 1 montre son choix d’écriture pour notre $\sqrt[3]{\sqrt{4352}+16}$ (.p. signifiant plus).

Extrait de l’Algebra de Bombelli (1579, p.161)

En 1637, dans sa Géométrie, Descartes reprend le symbole de Rudolff et il ajoute une barre supérieure couvrant toute l’expression, le raccordement de $\sqrt{}$ et de la barre donnera notre $\sqrt{\vphantom{fq}\hphantom{m}}$.

Une valeur approchée (et très approximative) de racine carrée en s‘inspirant de Descartes

Dans le livre 1 de son ouvrage La Géométrie, Descartes révolutionne la géométrie en définissant des opérations arithmétiques sur des longueurs dont les résultats sont encore des longueurs. Que la somme de deux longueurs soit une longueur ne paraît peut-être pas révolutionnaire, mais que leur produit en soit une, et non un rectangle, est en complète contradiction avec la pensée grecque qui avait prévalu jusque-là.

Descartes donne la méthode pour construire la racine carrée de la longueur $\mathrm{GH}$ (figure 2) :

Ou s’il faut tirer la racine carrée de $\mathrm{GH}$, je lui ajoute en ligne droite $\mathrm{FG}$, qui est l’unité, et divisant $\mathrm{FH}$ en deux parties égales au point $\mathrm{K}$ je tire le cercle $\mathrm{FIH}$, puis élevant du point $\mathrm{G}$ une ligne droite jusqu’à $\mathrm{I}$, à angles droits sur $\mathrm{FH}$, c’est $\mathrm{GI}$ la racine cherchée.

Figure 2. Descartes, 1637, p.298.

Considérons donc la figure suivante :

Figure 3. Construction d’une racine carrée.

Le segment $[\mathsf{FH}]$ est le diamètre du demi-cercle de centre $\mathsf{K}$.

La droite $(\mathsf{IG})$ est perpendiculaire à $(\mathsf{FH})$ et le triangle $\mathsf{FIH}$ est rectangle en $\mathsf{I}$.

Alors $\mathsf{IG}^2=\mathsf{GF}\times \mathsf{GH}$.

Cette formule enseignée jadis en collège s’obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans chacun des trois triangles rectangles $\mathsf{FIH}$, $\mathsf{IGH}$ et $\mathsf{IGF}$.

Ceci étant posé, intéressons-nous par exemple $\sqrt{245}$.

Il est clair qu’en construisant la figure avec $\mathsf{FG}=1$ et $\mathsf{GH}=245$, il n’y aurait plus qu’à lire une valeur approchée de $\sqrt{245}$ en mesurant $\mathsf{IG}$.

Mathématiquement parfait… mais singulièrement peu pratique à mettre en œuvre !

Un encadrement de racine carrée grâce à Théon d’Alexandrie

Théon d’Alexandrie (à ne pas confondre avec Théon de Smyrne) est un mathématicien grec, ayant vécu au IV^e siècle de notre ère, connu entre autres pour ses commentaires de l’Almageste de Ptolémée… et pour être le père d’Hypatie.

Considérons la figure suivante où $\mathsf{ABCD}$ et $\mathsf{AGFE}$ sont deux carrés.

Figure 4. Décomposition canonique d’un carré.

Cette figure est souvent algébrisée car, en posant $\mathsf{AG}=b$ et $\mathsf{GB}=a$, elle illustre l’identité remarquable ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$.

Intéressons-nous encore à $\sqrt{245}$.

Posons que $\mathsf{ABCD}$ a pour aire $245$. Notre problème consiste alors à déterminer un encadrement de la longueur du côté $[\mathsf{AB}]$.

On « enlève » le carré $\mathsf{AEFG}$ de sorte que son côté soit un entier, le plus grand possible. Il reste alors un gnomon constitué de deux rectangles superposables et d’un carré.

Puisque ${15^2=225}$ et ${16^2=256}$, on a $\mathsf{AG}=15$ et le gnomon a une aire égale à $20$.

De plus, $\mathsf{GB}$ est égal à un nombre $a$ inférieur à $1$.

En décomposant le gnomon on obtient:
${2\times (15\times a)+a^2 = 20}$
soit ${30a + a^2 = 20}$.

On tire de cette relation la majoration ${30a < 20}$, donc donc ${a < \dfrac{2}{3}}$.

La valeur $15+\dfrac{2}{3}$ est une valeur approchée par excès de $\mathsf{AB}$. Pour nous qui connaissons et préférons les décimaux, retenons $\mathsf{AB} < 15,7$.

Il est clair que ${30a+1 > 30a+a^2}$ donc

$30a+1 > 20$ et ${a > \dfrac{19}{30}}\cdotp$

Puisque $\dfrac{19}{30}=0,63{\dots}$, on peut affirmer que :

$\mathsf{AB} > 15,6$.

D’où l’encadrement $15,6<\sqrt{245}<15,7$.

On peut, pour déterminer un meilleur encadrement, considérer cette fois que le carré $\mathsf{AEFG}$ a pour côté $15,6$ et que $\mathsf{AB}=15,6 + a$, avec $a$ inférieur à $0,1$. Et ainsi de suite.

Extraction de racine carrée «à la main»

La figure utilisée par Théon (figure 4) est à l’origine de la méthode d’extraction de racine carrée « à la main » qui a longtemps été enseignée.

Cherchons par exemple la racine carrée du nombre $935\,089$.

Ce nombre s’écrit avec six chiffres ; la partie entière de sa racine carrée a donc trois chiffres.

Recherche du chiffre des centaines $a$

Puisque $900^2 < 935\,089$ alors $a=9$.

$\sqrt{935\,089}={900}$ à $100$ près par défaut.

Dans la figure précédente, $\mathsf{ABCD}$ est un carré d’aire $935\,089$. Enlevons le carré $\mathsf{AEFG}$ d’aire $900^2$. Il reste un gnomon $G_1$ d’aire $935\,089-810\,000=125\,089$.

Recherche du chiffre des dizaines $b$

Chercher le chiffre des dizaines revient à chercher une valeur approchée par défaut de $\sqrt{935\,089}$ à $10$ près. Soit $R$ cette valeur approchée, $R=900+10b$.

Considérons le gnomon $G_1$.

On a $(900\times10b)\times2+(10b)^2\simeq 125\,089$ (presque égal en restant inférieur).

$100b\times (180+b)\simeq 125\,089$.

Nous cherchons donc le plus grand entier $b$ inférieur à $9$, tel que $b(180+b)\leqslant 1\,250$.

Puisque $6 \times 186 = 1\,116$ et $7\times 187 = 1\,309$, il est clair que $b=6$ et $\sqrt{935\,089} = 960$ à $10$ près par défaut.

Si on retire du gnomon $G_1$ d’aire $125\,089$, le gnomon d’aire $100b(180+b)$ avec $b=6$, il reste un gnomon $G_2$ d’aire $13\,489$.

Recherche du chiffre des unités $c$

Chercher le chiffre des unités revient à chercher la valeur approchée par défaut à $1$ près de $\sqrt{935\,089}$. Soit $R$ cette valeur approchée, $R=960+c$.

Décomposons le gnomon $G_2$.

On a $(960\times c)\times 2+c^2\simeq 13\,489$.
$c(1\,920+c)\simeq 13\,489$.
On obtient $c=7$ car $7\times1\,927=13\,489$.

Conclusion:
$\sqrt{935\,089}=967$.

Figure 5. Illustration de l’algorithme d’extraction.

Dans le cas où le nombre proposé n’est pas un carré parfait, on continue la procédure en cherchant le chiffre des dixièmes $d$. Il suffit d’écrire que la valeur approchée au dixième par défaut est $967+0,1d$  et de dérouler la méthode.

Voici donc un nouvel exemple : cherchons la racine carrée de $258\,500$.

La partie entière de ce nombre s’écrit avec trois chiffres.

Recherche du chiffre des centaines $a$

Il est clair que $a=5$.
Et $258\,500-500^2 = 8\,500$, aire du gnomon restant.

Recherche du chiffre des dizaines $b$

$(500 \times 10b) \times 2 + (10b)^2 \leqslant 8\,500$
$100b(100+b)\leqslant 8\,500$
Or, $100\times 101 > 8\,500$, donc $b=0$.

Recherche du chiffre des unités $c$

$(500\times c)\times 2+c^2 \leqslant8\,500$
$c(1\,000+c) \leqslant8\,500$
Or, $8\times 1\,008 = 8\,064$ et $9\times 1\,009 = 9\,081$,
donc $c=8$.

Recherche du chiffre des dixièmes $d$

$8\,500-8\times 1\,008 = 436$ : aire du gnomon restant.

$(508 \times 0,1d)\times +(0,1d)^{2} \leqslant 436$
$0,01d(10\,160+d) \leqslant 436$
$d(10\,160+d) \leqslant 43\,600$
Or, $4\times 10\,164 = 40\,656$ et $5\times 10\,165 = 50\,825$, donc $d=4$.
$\sqrt{258\,500} = 508,4$ à $0,1$ près par défaut.

Conclusion

Ces petites activités autour des racines carrées n’ont rien d’original mais elles sont peut-être tombées un peu dans l’oubli. Mobilisant des configurations géométriques simples et des calculs algébriques modestes, elles permettent un petit détour du temps d’avant les calculatrices qui décoiffera certainement les élèves de collège ou de Seconde.

Pour aller plus loin

« Descartes a dit ». Utilisation d’extraits de La Géométrie en classe de Seconde. Gilles Waehren. Bulletin vert n° 463. 2006. APMEP.
P.186–191

Sur l’histoire des notations

L’incontournable A History Of Mathematical Notations de Florian Cajori paru en 1928 (réédité en 2007) et disponible en ligne archive.org :

Sur les algorithmes de calculs

Histoire d’algorithmes : du caillou à la puce, Belin, 2010 (sous la direction de Jean-Luc Chabert).

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Marie-Line Moureau a été professeure de mathématiques et formatrice premier degré dans l’académie de Nantes. Aujourd’hui retraitée, elle est membre du groupe Histoire des mathématiques de l’Irem des Pays de la Loire et fait également partie du comité de rédaction d’Au fil des maths.

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1. Proposé par Robert Recorde dans son traité d’algèbre The Whetstone of Witte en 1557, il explique: « Si j’ai choisi une paire de parallèles, c’est parce qu’elles sont deux lignes jumelles, et que rien n’est plus pareil que deux jumeaux. ».