Dans cet exercice, les nombres considérés sont des entiers écrits selon la numération décimale. Pour cet exercice, on appelle poids d’un nombre \(N\) la somme de ses chiffres.

1. Quel est le poids du nombre \({29}\) ? Quel est le poids du nombre \({7\,646}\) ?

2. Proposer trois nombres différents de même poids \({42}\).

3. Est-il exact de dire que « plus un nombre a de chiffres, plus son poids est élevé » ?

4. Quel est le plus petit nombre de poids \({50}\) ?

5. Quel est le plus petit nombre de poids \({2\,022}\) ?

6. Peut-on trouver un nombre ne s’écrivant qu’avec des \({5}\) et des \({7}\) et dont le poids soit \({53}\) ?

7. Peut-on trouver un nombre ne s’écrivant qu’avec des \({3}\) et des \({6}\) et dont le poids soit \({200}\) ?

Source : concours René Merckhoffer sur le site de l’académie de Versailles .

Solution : sur le même site .

\(\mathsf{ABCD}\) est un rectangle de largeur \(10\) cm

Les points \(\mathsf{E}\) et \(\mathsf{F}\) sont sur la diagonale \([\mathsf{AC}]\).

De plus, \(\mathsf{AE}=\mathsf{EF}=\mathsf{FC}\).

Calculer la longueur exacte de \([\mathsf{AD}]\).

Construire la figure en vraie grandeur.

Source : Maths sans frontières Seconde sur le site de l’académie de Strasbourg .

Solution proposée : sur le même site .

Remarque Aucun de mes élèves n’a évoqué deux triangles semblables… les angles droits les ont incités à réinvestir le théorème de Pythagore : ça tombe bien, c’était l’un de mes objectifs !

Piste Avec \(a=\mathsf{AE}=\mathsf{EF}=\mathsf{FC}\), on a d’une part \(\mathsf{AD}^2=9a^2-100\) dans le triangle \(\mathsf{ADC}\) et, d’autre part, \(\mathsf{AD}^2=3a^2+100\) dans le triangle \(\mathsf{ADF}\) (puisque \(\mathsf{DF}^2=100-a^2\) dans le triangle \(\mathsf{CDF}\)).

Commun à tous les candidats

On considère l’équation (E1) : \[\mathrm{e}^x-x^n=0\tag{E1}\] où \(x\) est un réel strictement positif et \(n\) un entier naturel non nul.

1. Montrer que l’équation (E1) est équivalente à l’équation (E2) : \[\ln(x)-\frac{x}{n}=0.\tag{E2}\label{problemes_548_equa_2}\]

2. Pour quelles valeurs de \(n\) l’équation (E1) admet-elle deux solutions ?

Source : exercice du sujet Antilles Guyane 2014 (site de l’APMEP) .

Solution : sur le même site .