Au fil des problèmes n° 549
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2024

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549-1 Un joli sangaku

Ce problème était accroché en 1806 au sanctuaire d’Atsuta, dans la préfecture d’Aichi au Japon. La tablette qui contenait ce seul problème et pas de solution a été perdue. Il a été conservé grâce aux notes d’un mathématicien japonais de l’époque.

Le triangle \(\mathsf{ABC}\) est isocèle, les cercles inscrits dans chacun des trois triangles ont le même rayon \(r\) et \(\mathsf{H}\) est le pied de la hauteur issue de \(\mathsf{C}\) du triangle \(\mathsf{BCD}\). Il est demandé d’exprimer \(r\) en fonction de \(\mathsf{CH}\).

Dans le bel ouvrage Sacred Mathematics (Princeton University Press), H. Fukagawa et Y. Rothman donnent une solution plutôt compliquée p. 212 à p. 216 et demandent au lecteur d’en trouver une plus simple. Je passe donc le message.

549-2 À confirmer (Vincent Thill-Migennes)

Montrer que l’identité suivante est vraie pour tout réel \(a \geqslant 1\) :

\[\sqrt[3]{a+\left(\dfrac{a+8}{3}\right)\sqrt{\dfrac{a-1}{3}}}+
\sqrt[3]{a-\left(\dfrac{a+8}{3}\right)\sqrt{\dfrac{a-1}{3}}}=
2.\]

549-3 L’amitié entre rectangles ça existe ! (Jean-Christophe Laugier-Rochefort)

On fixe une unité de longueur et on considère l’unité d’aire associée. On appelle « rectangle entier » un rectangle dont les mesures de la longueur et de la largeur sont des entiers non nuls. Deux rectangles entiers sont « amis » si la mesure du périmètre de l’un est égal à la mesure de l’aire de l’autre. Par exemple les deux rectangles ci-contre sont amis puisque \(2\times(13+2)=10\times3\) et \(2\times(10+3)=13\times2\).

Combien y a-t-il de rectangles amis ?

549-4 Les poids (Daniel Perrin-Orsay)

Les questions suivantes sont un prolongement du troisième exercice du concours René Merckhoffer (pour les élèves de Quatrième) de 2022 : les nombres considérés sont des entiers écrits selon la numération décimale et le poids d’un nombre est la somme de ses chiffres.

• Combien y a-t-il de nombres \(n\) de poids donné \(p\) ?

• Et si on n’utilise pas le chiffre \(0\) ?

• Quel est le plus petit nombre de poids donné \(p\) ?

• On se donne plusieurs chiffres (entre \(0\) et \(9\)). Quels sont les poids que l’on peut obtenir avec les nombres écrits uniquement avec les chiffres donnés ?