La table d’addition magique

Encore un peu de mathémagie ! L’auteur partage ici un nouveau tour. Amusez-vous et faites-le découvrir à vos élèves des cycles 2 et 3 : succès garanti !

Sébastien Reb

Réviser certains faits numériques comme des additions simples est un automatisme important dès le cycle 2, qui peut se poursuivre au cycle 3. Le jeu de société développe les premiers balbutiements opératoires chez les jeunes enfants et peut aider à automatiser les calculs. La mathémagie est aussi une approche intéressante pour travailler des automatismes avec un effet de surprise qui fait mouche à tous les coups. L’intérêt du « tour de magie » présenté ici est de motiver les élèves à comprendre les mécanismes en jeu.

Matériel

Il suffit d’une table d’addition affichée pour le magicien ; d’une feuille et d’un crayon pour le spectateur.

Déroulement du tour

Le magicien affiche un tableau carré \(5\times 5\) de \(25\) nombres. Il prépare une prédiction dans une enveloppe fermée et demande au spectateur de choisir cinq nombres au hasard de sorte qu’il n’y ait qu’un seul nombre coché par ligne et par colonne. Le magicien demande ensuite de faire la somme de ces cinq nombres.

Le spectateur donne le résultat et le magicien ouvre son enveloppe. La prédiction correspond à la somme calculée par le spectateur !

12	15	19	13	24
16	19	23	17	28
9	12	16	10	21
14	17	21	15	26
18	21	25	19	30

Le magicien met dans l’enveloppe sa prédiction : \(92\).

Le spectateur fait la somme \(16+15+21+10+30\) et surprise… ça fait \(92\) !

Explication

Tout repose sur la table d’addition suivante:

\(\boldsymbol{+}\)	5	8	12	6	17
7	12	15	19	13	24
11	16	19	23	17	28
4	9	12	16	10	21
9	14	17	21	15	26
13	18	21	25	19	30

En choisissant un seul nombre sur chaque ligne et chaque colonne, on obtient la somme de tous les nombres écrits sur la première ligne et ceux de la première colonne, soit ici : \(5+8+12+6+17+7+11+4+9+13=92\).

Avec ce principe, on peut générer autant de tables de ce type que l’on veut. Le magicien retient simplement la somme magique.

Preuve par le calcul littéral :

\(\boldsymbol{+}\)	\(\boldsymbol{a}\)	\(\boldsymbol{b}\)	\(\boldsymbol{c}\)	\(\boldsymbol{d}\)	\(\boldsymbol{e}\)
\(\boldsymbol{f}\)	\(a+f\)	\(b+f\)	\(c+f\)	\(d+f\)	\(e+f\)
\(\boldsymbol{g}\)	\(a+g\)	\(b+g\)	\(c+g\)	\(d+g\)	\(e+g\)
\(\boldsymbol{h}\)	\(a+h\)	\(b+h\)	\(c+h\)	\(d+h\)	\(e+h\)
\(\boldsymbol{i}\)	\(a+i\)	\(b+i\)	\(c+i\)	\(d+i\)	\(e+i\)
\(\boldsymbol{j}\)	\(a+j\)	\(b+j\)	\(c+j\)	\(d+j\)	\(e+j\)

Par exemple : \((a+h)+(b+g)+(c+i)+(d+j)+(e+f)=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j\)

La somme magique est la somme des dix nombres inscrits sur la première ligne et la première colonne et elle correspond à la prédiction du magicien.

Prolongement

On peut varier sans souci cette table d’addition magique en proposant aux élèves la construction de grilles carrées \(3\times 3\) ou \(4\times 4\). L’objectif pédagogique est de retravailler certaines tables d’addition tout en créant son modèle. Chacun peut ainsi créer son propre tour de mathémagie. De quoi être fier de soi !

Deux exemples.
\(\boldsymbol{+}\)	2	6	5	\(\boldsymbol{+}\)	11	9	15	8
3	5	9	8	6	17	15	21	14
8	10	14	13	13	24	22	28	21
7	9	13	12	5	16	14	20	13
				7	18	16	22	15

Autres variantes possibles

Une fois le tour effectué et la création de grilles réalisée, on peut également demander aux élèves de raisonner à l’envers en proposant une grille carrée \(3\times 3\) et en demandant de retrouver la première ligne et la première colonne :

9	14	11
12	17	14
16	21	18

Il s’agit ici de décomposer les nombres entiers comme une somme de deux nombres. Par exemple \(18=9+9=7+11=5+13=\dots\)

Par recoupements et observations, les élèves peuvent ainsi raisonner sur la grille pour retrouver la table d’origine. L’enjeu est de taille car la décomposition des nombres est au cœur du calcul mental réfléchi qui fait suite aux automatismes mis en place au préalable. La continuité des apprentissages est ainsi renforcée par ce type d’activité.

On peut encore aller plus loin ! Qu’en est-il pour des grilles rectangulaires ? À vous de tenter l’expérience avec vos élèves sur des grilles \(3\times 2\) ou \(4\times 3\) ou \(5\times 3\), …

D’autres variantes sont possibles afin de travailler les doubles comme avec cette grille :

\(\boldsymbol{+}\)	5	7	8	10
5	10	12	13	15
7	12	14	15	17
8	13	15	16	18
10	15	17	18	20

On peut émettre certaines observations afin de verbaliser le vocabulaire mathématique. Dans l’exemple précédent, la grille est symétrique par rapport à la diagonale. Certains alignements sont notables.

On peut alors mettre l’accent sur certaines suites logiques afin de développer progressivement chez les élèves une faculté d’observation du lien entre les nombres.

\(\boldsymbol{+}\)	5	8	11	14	17
7	12	15	18	21	24
14	19	22	25	28	31
21	26	29	32	35	38
28	33	36	39	42	45
35	40	43	46	49	52

Dans cet exemple, on avance de \(3\) en \(3\) sur chaque ligne et de \(7\) en \(7\) sur chaque colonne.

Les possibilités sont donc multiples. Ces tables d’addition magiques préparent ainsi les élèves au calcul littéral et à la démarche algébrique. On peut aussi les initier au tableur et à la programmation afin d’automatiser la génération des grilles.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Sébastien Reb est professeur de mathématiques au collège Pierre Larousse de Toucy, coordinateur du laboratoire de mathématiques inter-degré de Puisaye-Forterre et rédacteur en chef de la revue pédagogique inter-degré Médiane .

Pour citer cet article : Reb S., « La table d’addition magique », in APMEP Au fil des maths. N° 549. 20 octobre 2023, https://afdm.apmep.fr/rubriques/recreations/la-table-daddition-magique/.

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