549-4 Les poids (Daniel Perrin-Orsay)

Les questions suivantes sont un prolongement du troisième exercice du concours René Merckhoffer (pour les élèves de Quatrième) de 2022 : les nombres considérés sont des entiers écrits selon la numération décimale et le poids d’un nombre est la somme de ses chiffres.

• Combien y a-t-il de nombres \(n\) de poids donné \(p\) ?

• Et si on n’utilise pas le chiffre \(0\) ?

• Quel est le plus petit nombre de poids donné \(p\) ?

• On se donne plusieurs chiffres (entre \(0\) et \(9\)). Quels sont les poids que l’on peut obtenir avec les nombres écrits uniquement avec les chiffres donnés ?

À propos des problèmes parus précédemment

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) propose une solution en cinq couleurs pour le problème de Hadwiger-Nelson sous contrainte (544-4), de mon côté j’en propose une avec seulement quatre couleurs. Descendre jusqu’à trois semble impossible, mais cela reste à prouver. Solutions à retrouver sur le site.

547-1 Portion de lunule

Quatre angles d’attaque pour résoudre cette question. La lunule complète a une aire bien connue égale à l’aire du triangle isocèle rectangle. Une étude sur une moitié de la figure suffit. La façon la plus directe et la plus classique, utilisant la propriété de l’angle au centre et le fait que deux triangles de même base et de même hauteur ont la même aire, a été celle empruntée par Jean Lefort (Wintzenheim), Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) et Yves Farcy (Saint-Pons-de-Thomières), ce dernier ayant illustré sa réponse de nombreuses figures pour aider à suivre son raisonnement. Gérard Anselme (Valleiry), Jean Moussa (Arcueil) et Jacques Vieulet (Ibos) ont choisi, par une méthode semblable, de montrer l’égalité des aires complémentaires, à savoir de la portion de lunule MLDC et du triangle NOI. Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Maurice Bauval (Versailles) ont utilisé les coordonnées polaires et le calcul intégral pour parvenir au résultat. Enfin, Ludovic Jany (Bolquère) a calculé explicitement les expressions des aires de la portion de lunule et du triangle pour établir leur égalité.

547-2 Fatale erreur

Tous les courriers reçus montrent qu’une infinité de solutions existe, chacun exhibant une ou plusieurs familles particulières. Seul Daniel Djament (Pré-Saint-Gervais) les a toutes réunies en deux familles infinies comportant chacune deux paramètres : \[(b, q, r) = (nm, (mn – n – 1)m + 1, mn – n) \tag{1}
\label{de-ligt_eq01}\] ou \[(mn + 1, (mn – n + 1)m, nm + 1 – n) \tag{2}
\label{de-ligt_eq02}\] avec \(m, n \geqslant 1\).

Les nombres \(b\) et \(q\) pouvant être échangés avec cependant la restriction que \(r\) doit rester inférieur à \(b\), contrainte qui disparaît avec \(q\).

Ainsi Vincent Thill (Migennes) et Gérard Anselme (Valleiry) proposent la famille (1) avec le couple de paramètres \((m, n) = (3, n)\), Jean Moussa (Arcueil) et Maurice Bauval (Versailles) la famille (2) avec \((m, n) = (2, n)\), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) et Patrick David (Cergy) les familles (1) et (2) avec \((m, n) = (2, n)\), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) la famille (1) avec \((m, n) = (m’ +1, n)\), Christophe Rivière (Dieppe) les familles (1) et (2) avec \((m, n) = (m’ +1, 2), (1, n)\) et \((m, 1)\), \(m’ \geq 1\).

547-3 Partage d’un quadrilatère

Jean Moussa (Arcueil), Jean-Matthieu Bernat et Pascal Humberger (La Rochelle), Daniel Perrin (Orsay), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) et Gérard Anselme (Valleiry) proposent une construction dans le cas où la droite de partage passe par le côté opposé à [AD]. Dans le cas où cette droite coupe deux côtés consécutifs, Daniel Perrin et Jean-Matthieu Bernat présentent en plus une construction alternative. La majorité des solutions procèdent de l’idée d’obtenir un triangle de sommet \(\mathsf{P}\), de même aire que le quadrilatère, pour ensuite tracer la médiane issue de \(\mathsf{P}\). L’outil de la géométrie élémentaire principalement utilisé est celui qui assure que l’aire d’un triangle n’est pas modifiée quand un sommet se déplace parallèlement à sa base.

Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) a cherché une solution en passant par des calculs de distances et d’aires. Cela lui a permis d’obtenir une construction simple quand la droite de partage coupe le côté \([\mathsf{BC}]\) mais l’expression obtenue dans les deux autres cas s’avère peu pratique pour la réalisation d’un tracé.

Enfin, comme à son habitude, Daniel Perrin, dans un courrier de quatorze pages, donne une solution très complète et argumentée des constructions qu’il présente. Il enchaîne ensuite sur une autre façon de réaliser ces tracés en utilisant une méthode de rectification. Sa communication s’achève par la présentation d’un texte inédit qu’il a rédigé en 2000 avec Jean-Claude Duperret et Jean-Pierre Richeton (président de l’APMEP 1996-1998) pour la commission Kahane dont ils étaient membres. Il y est question de ce partage proposé en situation de recherche et érigé en prototype.

547-4 Urne et jetons

La solution à cette question a été trouvée dans la plupart des cas en calculant la probabilité de l’évènement contraire, à savoir la probabilité de n’obtenir aucune paire de jetons complémentaires. Ainsi Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) et Gérard Anselme (Valleiry) donnent la valeur minimale de \(7\) tirages pour avoir au moins 90% de chances de tirer deux numéros complémentaires.

Jean Moussa (Arcueil) part sur une majoration des probabilités des évènements successifs, en affaiblissant le modèle pour simplifier les calculs, et obtient ainsi une minoration du nombre cherché. Il conclut que cet entier est au moins égal à \(7\).

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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