Au fil des problèmes n° 547
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2023

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547-1 Quadrature d’une portion de lunule

Dans son livre La quadrature du cercle, paru en 2006 aux éditions Fayard, Marie Jacob présente la quadrature d’une portion de la première lunule d’Hippocrate de Chio qui a la particularité d’être dynamique. Cette propriété fut publiée pour la première fois par un mathématicien nommé Tschirnhaus en 1687 dans Acta Eridoterum.

« Malheureusement, nous n’avons pas retrouvé la démonstration de l’auteur lui-même. »

Marie Jacob précise que l’on sait seulement que Tschirnhaus a donné une démonstration à l’aide de découpages et de comparaisons d’aires de la géométrie classique. Parviendrez-vous à retrouver une preuve élémentaire de ce beau résultat ?

À partir d’un triangle ABO isocèle et rectangle en O, on construit d’une part un arc de cercle de centre O et d’autre part un demi-cercle de diamètre [AB]. Ces deux arcs de cercle délimitent alors une lunule. La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I, l’arc de cercle en D et le demi-cercle en C. M est un point quelconque du demi- cercle. Le segment [OM] coupe l’arc de cercle en L. La droite perpendiculaire à [AB] passant par M coupe l’arc de cercle en R et le segment [AB] en N. Il s’agit d’établir l’égalité des aires de la portion de lunule AML et du triangle ANO.

547-2 Fatale erreur (Daniel Perrin – Orsay)

Dans la classe de cours moyen, le petit Valentin, toujours contestataire, proteste auprès de sa maitresse :

« Mais, Madame, je ne vois pas pourquoi vous m’avez mis zéro à ma division, j’avais tout bon ! »

La maîtresse a beaucoup de mal à lui expliquer que diviser 624 par 18 c’est écrire \(624 = 18 \times 34 + 12\) et non pas \(624 = (18 + 34) \times 12\), même si les résultats sont identiques.

Montrer qu’on peut fabriquer une infinité d’exemples de cette situation, c’est-à-dire d’entiers \(b\), \(q\), \(r\) avec \(0 \leqslant r < b,\) vérifiant \(bq + r = (b + q)r\).

547-3 Partage d’un quadrilatère (Jean-Matthieu Bernat et Pascal Humberger – La Rochelle)

Soit ABCD un quadrilatère convexe et P un point du segment [AD] ; on demande, à l’aide de considérations géométriques simples de construire la droite d passant par P qui découpe le quadrilatère en deux parties de même aire.

547-4 Urne et jetons (Jean-Christophe Laugier – Rochefort)

Dans une urne, on a placé 20 jetons d’aspect identique : 10 blancs numérotés de 1 à 10 et 10 dorés numérotés également de 1 à 10. Deux jetons sont dits complémentaires s’ils sont de couleurs différentes et portent des numéros consécutifs. Combien doit-on au minimum prélever de jetons dans l’urne pour avoir au moins 9 chances sur 10 de tirer deux numéros complémentaires ?