Scratchons l’escargot !

Claire Pradel nous présente dans cet article la façon dont elle aborde les notions d’algorithmique au programme de Quatrième, en lien avec certaines séquences de géométrie. Au programme : angles et orientation du lutin sur Scratch.

Claire Pradel

© APMEP Décembre 2023

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Voyage mathématique

Partir à la découverte des fractions égyptiennes et de problèmes issus de papyrus de l’Égypte ancienne…
Françoise Marchesseau nous conte son périple avec des élèves de Seconde.

Françoise Marchesseau

© APMEP Décembre 2023

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Les sacamaths
À vos maths… prêts ?
Empruntez !

L’association Les Maths En Scène propose à ses adhérents des sacamaths, une nouvelle façon pour les élèves d’entrer en relation avec les mathématiques. Les auteurs nous racontent les débuts de ce projet et l’intérêt des élèves pour ce dispositif.

Nathalie Braun & Houria Lafrance ¹

© APMEP Septembre 2023

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Le pari des mois des anniversaires

Si on vous parle d’un résultat qui contredit l’intuition, vous pensez peut-être au paradoxe des anniversaires. Dans ce qui suit, il vous est proposé de le revisiter en ne s’intéressant plus au jour d’anniversaire, mais au mois d’anniversaire !

Jean-François Kentzel

@ APMEP Septembre 2023

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Activité en classe

Les élèves forment des groupes de cinq. Vous pariez alors avec chaque groupe qu’au moins deux d’entre eux sont nés le même mois. S’il y a un groupe incomplet, les élèves doivent y ajouter une ou des personnes absentes qu’ils connaissent pour arriver à cinq. Quelle est la probabilité de gagner un pari de ce type ? En supposant l’équiprobabilité des mois de naissance (ce qui est raisonnable d’après l’INSEE, j’ai vérifié), elle est d’environ 0,62 pour chaque groupe.

Paris avec les élèves

Faire des paris avec les élèves (ce qui est un peu se mettre en danger, sans crainte tant on sait qu’on finira par gagner !) me semble être une façon de les intéresser au calcul des probabilités. Si vous êtes fatigué ce jour-là ou si vous avez une classe volontiers agitée, vous pouvez prudemment remplacer 5 par 6 pour l’effectif des groupes, votre probabilité de gagner monte alors à environ 0,78.
Inversement pour pimenter les paris, vous pouvez parler de, disons, 100 € de pari par groupe… en précisant assez vite que c’était une blague, pour éviter pétitions et phénomènes de triche !

Simulations avec un tableur

Fort utiles si vous n’avez pas eu de chance avec les paris ! Si vous avez une salle informatique, c’est une occasion de revoir le symbole $ avec les élèves. Dans ce cas en dire le moins possible au départ…
puis tout dire peu à peu ensuite pour ceux qui seront ravis de seulement recopier des formules afin de produire une page qui fonctionne.

Par exemple, pour un groupe de cinq élèves, en ligne 2 de la feuille de calcul :

• dans les cellules A2 à E2, on simule avec =ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;12) ;
• puis on écrit en G2 la formule =NB.SI($A2 :$E2 ;A2) que l’on étire jusqu’à K2 ;
• on tape enfin =MAX(G2 :K2) en M2. Le pari est perdu quand ce maximum vaut 1.

Si on souhaite simuler avec 100 groupes, on copie 99 fois la ligne 2 et on tape la formule =NB.SI(M2:M101;1) dans la cellule O2 par exemple.

Version simplifiée du « paradoxe des anniversaires »

Le « paradoxe des anniversaires »

Ce qui précède n’en est qu’une version simplifiée. Si vous ne connaissez que vaguement cette histoire classique, pour expliquer le mot «   paradoxe   » , je vous pose cette question :

Désignons par \(f(n)\) la probabilité que dans un groupe de \(n\) personnes (\(n > 1\)), au moins deux personnes ont la même date d’anniversaire. Bien sûr, oubliant les 29 février et supposant l’équiprobabilité des 365 autres dates, ce que l’INSEE confirme, \(f\) est une suite croissante vérifiant \(f(2)=\dfrac{1}{365}\) et \(f(n)=1\) si \(n> 365\). À partir de quelle valeur de \(n\) a-t-on un «  pari gagnant  » , c’est-à-dire \(f(n)> {0,5}\) ?

Essayez de répondre « intuitivement » , fixez-vous un nombre, non, soyons sérieux, un intervalle ! Du coup vous serez plus indulgent en entendant les réponses très fausses de vos élèves pour cette question, à vrai dire pas sérieuse (c’est une question vraiment horrible !), seulement destinée à tenter d’expliquer le mot « paradoxe » . La réponse est à la fin de ce texte.

La taille des arbres

Un intérêt de cette version simplifiée est qu’elle est compréhensible avec des arbres de dénombrement « de taille humaine » . Pour les mois d’anniversaires, avec \(n=5\) élèves on a \(12^5 ={248832}\) branches, soit le nombre d’habitants d’une grande ville et on peut tranquillement l’ébaucher au tableau… Dans le cas des dates d’anniversaire, pour une classe de 35 élèves on a un arbre de taille \(365^{35}\) qui est le nombre, annoncé par Python en une seconde, oups,
478905975539166587008090776702255479679025347605612105677694592325133271515369415283203125
nombre de 90 chiffres, soit dix milliards de fois certaines estimations du nombre d’atomes de l’univers connu. Au tableau ça devient plus confus.

Un calcul de probabilités

À mon avis, un des intérêts du pari des mois d’anniversaires est l’utilisation de la « formule du complémentaire » , simplette et anodine mais semblant ici incontournable si on s’oblige à n’utiliser que des arbres de dénombrement.

Grâce à cette formule du complémentaire, pour des groupes de cinq élèves,

\[ \begin{aligned}P(\text{ « gagner le pari » })=1- P(\text{« Les cinq mois sont distincts » })=1-\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times8}{12^5}\approx {0,62}\end{aligned}\]

On a seulement dénombré
\(12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8={95040}\) branches

où tous les mois sont distincts, parmi les \({248832}\) possibles.

Un peu de Python, par exemple pour les élèves de spé NSI

Un programme Python de 90 lignes, dont beaucoup de commentaires, permet d’obtenir les graphiques ci-dessous :

En remplaçant trois fois 12 par 365 dans ce programme et en modifiant les abscisses du graphique, j’obtiens ces graphiques qui racontent l’histoire des anniversaires :

En guise de conclusion

Il y a dix-huit ans, j’avais écrit l’article Coïncidences des dates d’anniversaires (), dans le Bulletin Vert de l’APMEP. Il contient le résultat suivant : la probabilité de l’événement « il y a au moins une coïncidence d’anniversaires » dépasse \({0,5}\) quand \(n \) dépasse 22 et vaut environ \({0,8}\) pour \(n\) égal à 34. Je ne me suis pas lassé de ce sujet. Rares sont les classes où je n’en ai pas parlé ! Quel bonheur de croiser un ex-élève qui avait mémorisé ces nombres 34 et \({0,8}\) des années après son passage au lycée ! Ces dernières années j’ai souvent commencé par faire le « pari des mois d’anniversaires » , beaucoup moins spectaculaire (il serait abusif de parler de paradoxe, avec cinq mois on remplit, s’ils sont distincts, presque la moitié des cases des mois…) mais semblant plus compréhensible. Quelques commentaires du présent texte et quelques fichiers tableur ou.py sont accessibles sur l’ENT du lycée Pardailhan, à la dernière ligne, intitulée « Pari des mois d’anniversaires », de cette page : .

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À la retraite depuis peu, Jean-François Kentzel enseignait au lycée Pardailhan à Auch (Gers).

@ APMEP Septembre 2023

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Foot-thèque en cycle 3

Comment une situation vécue dans la cour de l’école donne-t-elle du sens aux fractions ? Voici un projet interdisciplinaire « mathématiques / EPS » qui revisite un grand jeu d’extérieur pour faire vivre aux élèves de cycle 3 une situation motivante d’introduction des fractions. Une idée très originale qui mérite d’être partagée !

Sandrine Lemaire & Christine Monnoir

@ APMEP Septembre 2023

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Cet article a pour ambition de proposer aux professeurs des écoles une situation motivante pour les élèves, qui donne du sens aux fractions et qui convoque les apprentissages de deux disciplines, mathématiques et EPS ¹, lors d’allers-retours cohérents entre la salle de classe et la cour de l’école. L’enjeu principal étant d’aider tous les élèves à comprendre la notion de fraction puis celle de nombre décimal, la séquence présentée peut être engagée tôt dans l’année de CM1 afin de faire côtoyer les fractions sur un temps long.

Cette séquence, initialement testée dans de nombreux contextes ² du CE2 au CM2, a été réaménagée et ajustée régulièrement par Christine Monnoir entre 2018 et 2021 lors des mises en œuvre en CM1 et en CM2. La trame de base a été gardée mais des questionnements ont enrichi la séquence au fil des ans et des profils des classes.

Règle du jeu de la « foot-thèque »

Pour chaque partie, on constitue trois équipes :

• une équipe jaune sur le terrain : les lanceurs³ et coéquipiers ;
• une équipe bleue : les adversaires ;
• une équipe verte : les observateurs des lanceurs.

Il doit y avoir autant de « jaunes » que de « bleus » et au moins un observateur pour chaque lanceur.

Matériel : une balle de handball ; autant de ballons de football (disposés près du point de « départ » ) que de joueurs de l’équipe jaune ; six plots et un terrain de jeu ⁴.

Au départ, les élèves des équipes jaune et bleue sont tous sur le terrain ; ceux de l’équipe verte sur le bord du terrain.

La partie débute lorsque l’élève de l’équipe jaune, situé au « point de départ » place un ballon de football à ses pieds et envoie dans le terrain un ballon de handball. Il commence un tour de terrain en poussant le ballon de football avec le pied (on appellera cela dribbler le ballon). Lorsqu’il a fait un tour, il continue (il ne s’arrête qu’à la fin du jeu) et l’élève de son équipe, qui était sur le terrain, démarre à son tour. Et ainsi de suite. L’objectif pour l’équipe jaune est d’effectuer le plus de tours de terrain cumulés possible, ballons de football aux pieds.

Pendant ce temps, les adversaires bleus doivent essayer d’attraper la balle de handball et se faire des passes ; ils n’ont pas le droit de marcher avec la balle en main. Leur objectif est de la lancer dans une caisse située au milieu du terrain. Les coéquipiers de l’élève n°1 (équipe jaune) les empêchent de faire des passes en repoussant la balle avec la main, sans l’attraper, sans la shooter au pied, uniquement en la tapant de la main comme avec une raquette de tennis ⁵ : un joueur jaune qui attraperait la balle ou la shooterait serait expulsé pendant un tour de l’élève n°1 .

Si un joueur bleu réussit à placer la balle de handball dans la caisse, le sifflet retentit. À ce signal, les lanceurs jaunes qui sont autour du terrain s’arrêtent à une base. S’ils sont entre deux bases, ils reviennent à la base précédente. Chaque observateur (équipe verte) retient la distance parcourue par son binôme lanceur. Puis on redémarre le jeu avec un nouveau lanceur de l’équipe jaune. Les autres lanceurs continuent leurs tours de terrain.

La partie s’achève lorsque tous les élèves de l’équipe jaune sont autour du terrain, chacun avec un ballon de foot au pied. Chaque joueur de l’équipe jaune rejoint alors son observateur (équipe verte) et valide les distances notées pendant la partie.

On change les rôles des équipes pour la partie suivante : le roulement permet à chaque élève de pratiquer les différentes activités.

Séance 1 : émergence d’un problème

En classe, les règles du jeu sont expliquées aux élèves puis une première partie de foot-thèque est expérimentée dans la cour. Très enthousiastes, les élèves sont concentrés sur leurs rôles.

Le terrain étant suffisamment grand et le maniement du ballon au pied diversement maîtrisé, les distances parcourues individuellement sont rarement des nombres entiers de tours, pas même un tour pour certains élèves. Le problème s’impose donc naturellement aux élèves : « Nous ne pouvons pas savoir quelle équipe a gagné si on ne compte que les tours entiers. »

Le retour en classe est l’occasion de faire le point collectivement : rappeler certaines règles, revenir
sur les réussites et les difficultés rencontrées dans l’activité physique, et surtout rechercher des pistes de solution pour être en mesure de déterminer le score de chaque équipe. Rapidement, les élèves expriment la nécessité de prendre en considération toutes les distances effectivement parcourues, et donc de se souvenir des tours entiers franchis, mais aussi des « morceaux » de tours réalisés par chacun des membres de l’équipe. La tâche des observateurs s’affine et se renforce. Le débat se conclut par la nécessité de se souvenir précisément des positions finales de chaque joueur,
en les reportant donc sur une feuille.

Séance 2 : détermination de l’équipe gagnante

Une nouvelle phase de jeu est organisée dans la cour de l’école : règles du jeu à nouveau rappelées, élèves équipés et rôles de chacun précisés.

Les observateurs ne se focalisent plus principalement sur la conformité des gestes et déplacements
dans les différents espaces, ils s’appliquent surtout à suivre les parcours dans leur intégralité et à en restituer des traces par écrit. Les bases prennent alors une signification essentielle. Elles indiquent toujours les emplacements à occuper aux coups de sifflet mais elles prennent désormais un sens nouveau : ce sont des repères pour prélever et exprimer les longueurs des « morceaux de terrain ».

Laissées à l’initiative de chaque élève, les traces recueillies lors de cette séance sont variées mais presque toutes comportent des indications relatives aux bases. En voici quelques exemples :

• schéma et référence à un nombre de tours complets (4 t) et à un nombre de bases (2 pl pour 2 plots) ;
  
  
• indication d’un nombre de tours complets (3 T) et d’un nombre de bases
  
  
• écriture progressive d’une suite de « 1 » correspondant à chaque tour complet réalisé puis ajout du nombre de bases atteintes au dernier tour
  
  

Le retour en classe est attendu par les élèves : il faut regrouper les informations recueillies, équipe par équipe, pour pouvoir (enfin) déterminer laquelle est gagnante.

Motivés, les élèves s’organisent en sous-groupes mais la tâche n’est pas si simple : comment faire pour déterminer le score de l’équipe ? Peut-on ajouter des plots et des tours ? « Non, ce n’est pas pareil, c’est comme si on ajoutait des mètres et des grammes. Il faut ajouter séparément les tours et les bases. »

Les élèves sont déjà bien engagés dans des raisonnements faisant appel à leurs connaissances sur les mesures de grandeurs et la notion d’unité. De plus, à ce stade de la séquence, la difficulté de compter uniquement en plots est actée : « Il y a un (trop) grand nombre de plots, c’est plus facile de compter en tours et en plots ! »

Dès que les bilans, en nombres de tours et de plots, sont établis pour toutes les équipes, l’enseignante reporte les résultats au tableau pour tenter de les comparer et de déterminer l’équipe gagnante. Les élèves se retrouvent dans une impasse lorsqu’il s’agit de comparer certains scores : quelle est la meilleure performance parmi « 11 tours et 4 plots » , « 9 tours et 17 plots » , « 10 tours et 8 plots » ?

La séance se termine ainsi, laissant les élèves à la fois un peu frustrés de la non-réponse et impatients de trouver une solution…

Séance 3 : distance entre deux plots

Cette séance est menée dès le lendemain pour tirer bénéfice de l’engagement et de l’attente des élèves. L’enseignante reprend la question de la veille, enquête auprès des élèves pour détecter une éventuelle nouvelle idée, puis finalement relance elle-même la réflexion en soumettant à la classe une trace ⁶ sélectionnée dans le recueil de la veille.

« Pouvez-vous m’expliquer cette production ? »

Le débat s’articule d’abord autour de la justesse du calcul opéré, puis il conduit rapidement à des questions fondamentales d’équitabilité telles que, après reformulation :

• Parcourir trois plots, quelles que soient leurs positions, c’est parcourir toujours la même distance ?
• Parcourir trois plots, c’est toujours effectuer la moitié d’un tour ?

Ces interrogations et les arguments avancés glissent ensuite vers le besoin de vérifier que la distance entre deux plots successifs est toujours la même.

La parole de l’enseignante ne suffit pas à convaincre certains élèves (et c’est tant mieux !). Il est donc décidé d’aller ensemble dans la cour pour rechercher la preuve en comparant effectivement les longueurs à l’aide d’une longue corde et d’un repère-pince à linge, et en concluant officiellement à leur égalité.

De retour dans la classe, certains élèves expriment clairement que « la distance entre deux bases, c’est une partie sur les six, toutes pareilles, du parcours » .

La transition vers « c’est un sixième du parcours » est amenée spontanément par un autre élève.

Les élèves sont alors invités à repérer les différents sixièmes du parcours, représentés au tableau , puis à transformer les scores précédemment établis en tours/plots pour faire apparaître le maximum de tours entiers.

Assez facilement, les élèves remobilisent que « tous les tronçons entre deux bases qui se suivent sont de la même longueur » et donc que « quand on a six plots, ça vaut autant qu’un tour complet » . Ils verbalisent alors que :

• « 11 tours et 4 plots, ça ne change pas parce qu’il ne reste pas assez de plots » ,
• « 10 tours et 8 plots, c’est 10 tours, plus un tour et 2 plots » ,
• « 18 plots, c’est 3 tours » ,
• et donc « 9 tours et 17 plots, c’est 1 plot de moins que 12 tours » .

La relation « un tour, c’est 6 sixièmes de tour » s’installe. Reste à comparer les scores des trois équipes et s’accorder sur le classement.

L’enseignante conclut la séance en apportant une écriture fractionnaire (somme d’un entier et d’une fraction inférieure à l’unité) : « Pour 4 tours et 2 bases, on dira maintenant qu’il s’agit de 4 tours complets et de 2 sixièmes de tours et on écrira \(4+\dfrac{2}{6}\cdotp\) »

Collectivement la classe se met d’accord pour l’organisation de la séance suivante : les observations de la prochaine partie de foot-thèque seront notées de cette façon, directement ou en passant d’abord par les nombres de tours et de plots.

Séance 4 : comptage et calculs en sixièmes de tours

Cette séance comporte donc une nouvelle phase de jeu en extérieur. À cette occasion, une fiche d’aide à la prise d’informations est construite puis utilisée par certains élèves.

Au retour dans la classe, les calculs des scores d’équipes sont effectués en petits groupes puis mutualisés et vérifiés par le groupe classe.

Des échanges permettent également de comparer différentes procédures d’addition des fractions. La classe s’accorde sur celle qui servira de référence pour rendre compte du score en équipe : une affiche est réalisée.

Les nouvelles connaissances sont mises en évidence lors de phases de structuration : « Que savons-nous maintenant ? » .

Des élèves constatent aussi que trois sixièmes, c’est la moitié du terrain !

Séance 5 : des sixièmes sur une ligne graduée

Après la phase de jeu de foot-thèque en extérieur, la nouveauté de la séance est amenée : l’utilisation d’une autre représentation des distances.

« Aujourd’hui, vous allez représenter le score de votre équipe sur une ligne graduée afin que nous puissions comparer les résultats rapidement. »

L’enseignante repère quelques difficultés : la plupart des élèves savent placer un point sur une ligne qui part de \(0\), mais c’est plus compliqué lorsqu’elle démarre d’un autre entier. Par ailleurs, ils ont tendance à penser qu’une graduation vaut systématiquement 1.

Après une phase de recherche, quelques essais et des échanges intermédiaires entre les groupes, les élèves concluent : « Il faut utiliser la même unité pour graduer mais les carreaux du cahier sont trop grands. On ne peut pas non plus utiliser les graduations de la règle car 1  cm est partagé en 10  mm et nous devons graduer chaque unité en \({6}\) plots. Puisque les nombres de tours sont grands, il faut démarrer la ligne d’un nombre bien plus grand que \({0}\) et qui convient aux trois équipes. »

Finalement la classe se met d’accord : « C’est comme si on zoomait, on va prendre un carreau pour représenter un sixième de tour et la ligne va commencer à \({32}\). ».

Le bilan de la séance permet d’officialiser les fonctions de la droite graduée : « La droite graduée sert à placer et à comparer des nombres. Ici, c’est comme si on dépliait le contour du terrain. »

Le travail est prolongé, dès le lendemain, dans la classe uniquement. L’enseignante demande aux groupes d’élèves d’indiquer le score de la veille sur un support préalablement préparé afin de pouvoir comparer les résultats. Un bilan est rédigé collectivement.

Prolongement

Des séances ultérieures de foot-thèque sont proposées régulièrement dans l’année pour retravailler les compétences en mathématiques et en EPS. Elles évoluent progressivement vers une généralisation avec l’usage, en situation, d’autres fractions. Les partages successifs du terrain en sixièmes, puis en huitièmes, puis en dixièmes mènent peu à peu à l’apprentissage des fractions décimales et des nombres décimaux.

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1. Dans cet article, nous nous centrons sur la discipline « mathématiques » , mais il y aurait aussi beaucoup à dire en ce qui concerne l’EPS !↩︎
2. L’article fait référence principalement aux expérimentations réalisées dans ce cadre par Claudine Dubray, alors en CM1/CM2, Séverine Pouvreau en CE2/CM1 et Christine Monnoir en CM2.↩︎
3. Ce terme désigne les élèves de l’équipe jaune qui courent autour du terrain, ballon de foot aux pieds.↩︎
4. Le terrain est représenté à l’échelle. Les triangles verts représentent des plots, appelés aussi « bases » dans ce jeu.↩︎
5. Comme à chaque tour de terrain de l’élève n°1, il y a un élève jaune de moins sur le terrain… cela devient, au cours de la partie, de plus en plus facile pour l’équipe bleue de mettre la balle dans la caisse !↩︎
6. Voilà notre analyse de la production : comptage des plots 3 par 3, certainement pour envisager des moitiés de tour, puis groupement 2 à 2 pour obtenir les tours complets, dénombrement final des tours complets et des plots restants.↩︎

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Sandrine Lemaire est professeure de mathématiques. Formatrice à l’Inspé de l’académie de Nantes, elle contribue à la formation initiale et continue des professeurs des écoles.
Christine Monnoir est professeure des écoles dans l’académie de Nantes, CPC (Conseillère Pédagogique de Circonscription) et RMC (Référente Mathématique de Circonscription).

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Fabriquer des labyrinthes romains en Sixième

De l’observation de labyrinthes à leur fabrication, Bernard Parzysz et Thibaut Renard nous proposent dans cet article le récit d’un travail mené dans plusieurs classes de Sixième.

Bernard Parzysz & Thibaut Renard

© APMEP Juin 2023

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