Au fil des problèmes n° 543

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2022

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

543-1 – Archimède encore (J.P. Friedelmeyer – Osenbach)

Sont donnés trois points \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\) non alignés d’un plan affine euclidien.

1. Démontrer qu’il existe une et une seule parabole \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{A}\) ; \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{C}\)) tangente en \(\mathsf{B}\) à \((\mathsf{AB})\) et en \(\mathsf{C}\) à \((\mathsf{AC})\) (figure [de_ligt_543_1]).

2. On construit les trois paraboles \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{A}\) ; \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{C}\)), \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{B}\) ; \(\mathsf{C}\), \(\mathsf{A}\)), \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{C}\) ; \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\)) où les rôles des points \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\) sont permutés, et qui se coupent deux à deux en trois points \(\mathsf{P}\), \(\mathsf{Q}\) et \(\mathsf{R}\), délimitant sept surfaces curvilignes à l’intérieur du triangle \(\mathsf{ABC}\) (figure [de_ligt_543_2]). Déterminer l’aire de chacune de ces surfaces en fonction de l’aire du triangle \(\mathsf{ABC}\).

543-2 – Un classique revisité (Robert March – Paris)

J’ai décidé de faire deviner l’âge de mes enfants à mes élèves en leur précisant qu’ils avaient entre 2 et 20 ans. J’ai écrit sur un bout de papier la somme des deux âges et sur un autre leur produit. J’ai donné au hasard un papier à Sophie et l’autre à Germain :

Sophie — En tout cas, je suis sûre que j’ai la somme.

Germain — Merci pour le renseignement, mais j’hésite quand même entre plusieurs solutions.

Sophie — Dans ce cas, moi je la connais.

Germain — Alors moi aussi.

Et vous ?

543-3 – Une équation diophantienne (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers relatifs puis dans les entiers naturels : \(\dfrac{a}{b +c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = 4\)

543-4 – Somme de fractions égyptiennes

Quelles sont les valeurs de l’entier naturel \(n\) telles que la fraction \(\dfrac{4}{n}\) soit la somme de deux inverses d’entiers ?

À propos des problèmes parus précédemment

Vous pourrez retrouver sur le site d’Au fil des maths les contributions de Jacques Vieulet au problème 540-1 et de Marie-Nicole Gras aux problèmes 540-2, 540-3 et 540-4.

541-1 Une construction pratique du centre de gravité d’un quadrilatère plein

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) attachent un repère à la figure et vérifient que les coordonnées du centre de gravité du triangle ACF sont les mêmes, pour madame Gras, que celles du quadrilatère plein ABCD et que celles du quadrilatère plein ABCD privé du triangle ACF pour monsieur Renfer. Patrick David (Cergy), Julien Sautier et Pierre Carriquiry (Clichy) observent, de leur côté, que les triangles AFE et ABD ont le même centre de gravité, ainsi que les triangles CFE et BCD. Ils concluent par homogénéité du barycentre.

541-2 D’après August Ferdinand Möbius

Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans) et Jacques Vieulet (Ibos) obtiennent les premières relations demandées en utilisant notamment le lemme du chevron, puis continuent par des calculs algébriques classiques. L’étude du polynôme du troisième degré associé à l’équation proposée passe par la comparaison des moyennes arithmétique et géométrique. Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Patrick David (Cergy) et Julien Sautier utilisent les coordonnées barycentriques dans le repère affine \((\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})\), l’aire du triangle ABC est choisie comme unité d’aire, et parviennent ainsi, sans complication, aux expressions des aires. Les variations du polynôme du troisième degré sont étudiées en fonction des aires \(a\) et \(b\) ou \(p\), \(q\) et \(r\) selon les auteurs.

541-3 Factorielles et carrés

Vincent Thill (Migennes), auteur du problème, trouve deux familles infinies de solutions, l’une avec \(p-q=8\) et l’autre avec \(b=1\). Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) produit trois familles infinies de solutions en fixant ou en liant certaines valeurs ; en prenant \(b = 1\), \(a = b^4\) ou \(p – q
= 2\). Son étude n’envisage pas les cas \(b = 0\) ou \(q = 0\), cas qui eux sont étudiés de façon approfondie par Daniel Perrin (Université Paris-Saclay) dans un article qui occupe quinze pages. Ce dernier étudie en particulier l’existence de solutions pour différentes valeurs de \(b\) ou de \(p – q\). Un résultat remarquable est l’obtention de toutes les solutions dans le cas où \(q = p – 2\). Différentes conjectures sont proposées dans le texte, qui suggèrent de poursuivre l’étude de cette difficile équation qui n’a pas encore reçu de solution générale.

541-4 Une curiosité algébrique

Les différents contributeurs, Maurice Bauval (Versailles), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Jacques Chayé (Poitiers), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), Vincent Thill (Migennes) et Patrick David (Cergy) obtiennent une factorisation qui permet de conclure que l’égalité a lieu si deux des nombres sont inverses l’un de l’autre. Patrick David généralise l’équation avec \(n\) inconnues et montre qu’il y a alors toujours une infinité de solutions.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.