Au fil des problèmes n° 541
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2022

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541-1 – Une construction pratique du centre de gravité
d’un quadrilatère plein

Savez-vous qu’il est possible de construire le centre de gravité d’un quadrilatère plein convexe à l’aide d’un seul triangle au lieu des quatre habituellement utilisés ?

Soit \(\mathsf{ABCD}\) un quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent en \(\mathsf{E}\).

Si \(\mathsf{DE}\geq\mathsf{EB}\), on place \(\mathsf{F}\) sur le segment \([\mathsf{DE}]\) de telle sorte que \(\mathsf{DF}=\mathsf{BE}\).

Démontrer que le centre de gravité du triangle \(\mathsf{ACF}\) coïncide avec celui du quadrilatère plein \(\mathsf{ABCD}\).

541-2 – D’après August Ferdinand Möbius (J.P. Friedelmeyer – Osenbach)

Soit \(\mathsf{ABC}\) un triangle quelconque et \(\mathsf{D}\) un point en son intérieur, délimitant trois triangles : \(\mathsf{DBC}=a\) ; \(\mathsf{DAC}=b\) ; \(\mathsf{DAB}=c\). \(\mathsf{DBC}\), \(\mathsf{DAC}\) et \(\mathsf{DAB}\) désignent à la fois les triangles et leur aire, celles-ci pouvant également être abrégées par les minuscules \(a\), \(b\) et \(c\).

Soit \(\mathsf{A}’\), \(\mathsf{B}’\) et \(\mathsf{C}’\) les intersections des droites \((\mathsf{AD})\), \((\mathsf{BD})\), \((\mathsf{CD})\) avec les côtés \([\mathsf{BC}]\), \([\mathsf{AC}]\), \([\mathsf{AB}]\) respectivement.

1. 1. Exprimer les aires des triangles \(\mathsf{C}’\mathsf{B}’\mathsf{A}\), \(\mathsf{A}’\mathsf{C}’\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B}’\mathsf{A}’\mathsf{C}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

On désigne par \(p\), \(q\), \(r\) ces aires : \(\mathsf{C}’\mathsf{B}’\mathsf{A}=p\) ; \(\mathsf{A}’\mathsf{C}’\mathsf{B}=q\) ; \(\mathsf{B}’\mathsf{A}’\mathsf{C}=r\) et par \(x\) l’aire du triangle \(\mathsf{A}’\mathsf{B}’\mathsf{C}’\).

Connaissant \(p\), \(q\), \(r\), on veut exprimer \(x\) en fonction des seules aires \(p\), \(q\), \(r\).

1. Démontrer que l’aire \(x\) est racine de l’équation du troisième degré \(x^3 + (p + q + r)x^2 – 4pqr = 0\).

2. Démontrer que cette équation admet trois racines réelles, dont une seule est positive.

541-3 – Factorielles et carrés (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers naturels \(a^2-b^4=\dfrac{p !}{q !}\) avec \(p > q + 1\).

541-4 – Une curiosité algébrique (Jacques Chayé – Poitiers)

À quelle condition la somme de trois réels et du produit de leurs inverses est-elle égale à la somme de leur produit et de la somme de leurs inverses ?