La quadrature du cercle

Après son « assiette magique » dans notre numéro précédent, Dominique Souder nous propose un tour de magie qui laisse croire que la quadrature du cercle est possible. La vidéo vous interpellera et la solution vous permettra de refaire le tour devant vos amis, qu’ils soient matheux ou non !

Dominique SOUDER

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Le diaporama

La quadrature du cercle

Une escroquerie du mathématicien

Dominique SOUDER

La quadrature du cercle

Une escroquerie du mathématicien

Dominique SOUDER

La quadrature du cercle

Une escroquerie du mathématicien

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Une escroquerie du mathématicien

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Une escroquerie du mathématicien

Dominique SOUDER

Une escroquerie du mathématicien

Dominique SOUDER

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Une feuille double de journal apparemment (mais il y en a deux collées en partie l’une sur l’autre).
Un rectangle de 9x18 cm centré sur un bord long.

Une feuille double de journal apparemment (mais il y en a deux collées en partie l’une sur l’autre).
Un rectangle de 9x18 cm centré sur un bord long.

Une feuille double de journal apparemment (mais il y en a deux collées en partie l’une sur l’autre).
Un rectangle de 9x18 cm centré sur un bord long.

On coupe le rectangle qui déplié donnera un carré de 18 cm de côté.

On coupe le rectangle qui déplié donnera un carré de 18 cm de côté.

On coupe le rectangle qui déplié donnera un carré de 18 cm de côté.

L’autre côté caché de l’ensemble des deux feuilles, son trou circulaire (7,5cm de rayon) et
le disque replié en quart et collé sur l’intérieur de la feuille de dessous.

L’autre côté caché de l’ensemble des deux feuilles, son trou circulaire (7,5cm de rayon) et
le disque replié en quart et collé sur l’intérieur de la feuille de dessous.

L’autre côté caché de l’ensemble des deux feuilles, son trou circulaire (7,5cm de rayon) et
le disque replié en quart et collé sur l’intérieur de la feuille de dessous.

Ce que ne voit pas le spectateur.

Ce que ne voit pas le spectateur.

Ce que ne voit pas le spectateur.

Ce que ne voit pas le spectateur… (Le collage en partie des deux feuilles, et le collage du disque replié en quart)

Ce que ne voit pas le spectateur… (Le collage en partie des deux feuilles, et le collage du disque replié en quart)

Ce que ne voit pas le spectateur… (Le collage en partie des deux feuilles, et le collage du disque replié en quart)

Revenons au découpage qui doit, déplié, donner un carré.

Revenons au découpage qui doit, déplié, donner un carré.

Revenons au découpage qui doit, déplié, donner un carré.

La face cachée au spectateur, du carré, avec le disque collé replié en quart (7,5cm est plus petit que 9cm).

La face cachée au spectateur, du carré, avec le disque collé replié en quart (7,5cm est plus petit que 9cm).

La face cachée au spectateur, du carré, avec le disque collé replié en quart (7,5cm est plus petit que 9cm).

Semblant tout froisser, le magicien froisse le carré et déplie le disque qui cachera le carré froissé présenté derrière.

Semblant tout froisser, le magicien froisse le carré et déplie le disque qui cachera le carré froissé présenté derrière.

Semblant tout froisser, le magicien froisse le carré et déplie le disque qui cachera le carré froissé présenté derrière.

Ce qui sera présenté au spectateur, suggérant la transformation du carré en disque…

Ce qui sera présenté au spectateur, suggérant la transformation du carré en disque…

Ce qui sera présenté au spectateur, suggérant la transformation du carré en disque…

Le magicien saisit ainsi devant lui le reste du journal…

Le magicien saisit ainsi devant lui le reste du journal…

Le magicien saisit ainsi devant lui le reste du journal…

Il écarte vite les bords extrêmes et laisse voir son visage dans le trou circulaire.
Le carré reste invisible car le spectateur est attiré par le visage du magicien qu’il voit à travers le trou.

Il écarte vite les bords extrêmes et laisse voir son visage dans le trou circulaire.
Le carré reste invisible car le spectateur est attiré par le visage du magicien qu’il voit à travers le trou.

Il écarte vite les bords extrêmes et laisse voir son visage dans le trou circulaire.
Le carré reste invisible car le spectateur est attiré par le visage du magicien qu’il voit à travers le trou.

Ce qu’on imaginait un carré semble avoir été changé en cercle…
Ce qui se vérifie deux fois : d’une part avec le morceau découpé et froissé…, d’autre part avec le trou dans le journal.
La quadrature du cercle a-t-elle été réalisée ?

Ce qu’on imaginait un carré semble avoir été changé en cercle…
Ce qui se vérifie deux fois : d’une part avec le morceau découpé et froissé…, d’autre part avec le trou dans le journal.
La quadrature du cercle a-t-elle été réalisée ?

Ce qu’on imaginait un carré semble avoir été changé en cercle…
Ce qui se vérifie deux fois : d’une part avec le morceau découpé et froissé…, d’autre part avec le trou dans le journal.
La quadrature du cercle a-t-elle été réalisée ?

NON : on n’a pas construit un carré de même aire qu’un cercle donné…

La quadrature du cercle est impossible théoriquement, car il faudrait, pour obtenir un carré de même aire qu’un cercle de rayon 1, être capable de construire un côté de carré de longueur la racine du nombre pi.

NON : on n’a pas construit un carré de même aire qu’un cercle donné…

La quadrature du cercle est impossible théoriquement, car il faudrait, pour obtenir un carré de même aire qu’un cercle de rayon 1, être capable de construire un côté de carré de longueur la racine du nombre pi.

NON : on n’a pas construit un carré de même aire qu’un cercle donné…

La quadrature du cercle est impossible théoriquement, car il faudrait, pour obtenir un carré de même aire qu’un cercle de rayon 1, être capable de construire un côté de carré de longueur la racine du nombre pi.

En 1882 Ferdinand von Lindemann a démontré que pi est transcendant, c’est-à-dire non-algébrique (il n’est pas solution d’équations à coefficients entiers). Comme les nombres constructibles sont tous algébriques, ceci entraine que pi est non constructible à la règle et au compas, et donc que la quadrature du cercle est impossible.

En 1882 Ferdinand von Lindemann a démontré que pi est transcendant, c’est-à-dire non-algébrique (il n’est pas solution d’équations à coefficients entiers). Comme les nombres constructibles sont tous algébriques, ceci entraine que pi est non constructible à la règle et au compas, et donc que la quadrature du cercle est impossible.

En 1882 Ferdinand von Lindemann a démontré que pi est transcendant, c’est-à-dire non-algébrique (il n’est pas solution d’équations à coefficients entiers). Comme les nombres constructibles sont tous algébriques, ceci entraine que pi est non constructible à la règle et au compas, et donc que la quadrature du cercle est impossible.

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La vidéo

La solution 

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Enseignant de mathématiques aujourd’hui à la retraite, Dominique Souder se consacre désormais à des animations autour de la magie mathématique.

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