Au fil des problèmes n° 544
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2022

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544-1 – Problème de dénombrement et takuzu (Patrick David – Cergy)¹

Le takuzu, jeu de la famille du sudoku auquel on peut jouer en ligne sur l’internet, se joue dans un carré de dimension paire \((2n\), \(n\in \mathbb{N}^{\ast})\) dans lequel figurent déjà dans quelques cases des \(0\) ou des \(1\). Le but du jeu est de remplir ce carré en ajoutant des \(0\) et des \(1\) et en respectant les trois règles suivantes.

1. Sur toute ligne ou colonne, il doit y avoir autant de \(0\) que de \(1\).

2. Il ne peut y avoir plus de deux \(0\) (ou \(1\)) consécutifs sur les lignes ou les colonnes.

3. Les lignes doivent être toutes différentes, ainsi que les colonnes (cette dernière règle n’est nécessaire que dans les grilles assez difficiles).

En principe, les \(0\) et \(1\) placés initialement permettent de trouver une solution unique. Cela amène à se poser les questions suivantes.

1. Sur une ligne de takazu de longueur \(2n\), combien y a-t-il de dispositions différentes valides, c’est-à-dire vérifiant les règles 1 et 2 ?

2. Si \(v_n\) est le nombre de lignes valides pour une ligne de longueur \(2n\), montrer que \(\displaystyle\lim_{n
   \to+\infty}\dfrac{v_n}{2^{2n}}=0\).

3. Donner une majoration au plus proche de \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\cdotp\)

544-2 – Pour les amateurs de second degré

Trouver le trinôme du second degré \(x^2+px+q\) (\(p\) et \(q\) étant réels) pour lequel \(\max\limits_{x \in [-1;1]} \left|x^2+px+q\right|\) est minimum.

544-3 – Un hexagone inscrit (Michel Sarrouy – Mende)

Soit, sur un cercle de rayon \(1\), un point fixe \(\mathsf{A}\) et un point variable \(\mathsf{B}\) tel que \(\mathsf{AB}< ;\sqrt{3}\). Appelons direct le sens de rotation de \(\mathsf{A}\) vers \(\mathsf{B}\) sur le petit arc de cercle \(\overset{\displaystyle\frown}{\mathsf{AB}}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{AB})\) par la rotation de centre \(\mathsf{B}\) et d’angle 120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{C}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{BC})\) par la rotation de centre \(\mathsf{C}\) et d’angle 120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{D}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{CD})\) par la rotation de centre \(\mathsf{D}\) et d’angle  120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{E}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{DE})\) par la rotation de centre \(\mathsf{E}\) et d’angle  120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{F}\). On joint \(\mathsf{F}\) et \(\mathsf{A}\).

Montrer que :

1. les points \(\mathsf{C}\) et \(\mathsf{E}\) sont fixes ;

2. le segment \([\mathsf{FA}]\) a même longueur que les segments \([\mathsf{DE}]\) et \([\mathsf{BC}]\) ;

3. les angles en \(\mathsf{F}\) et en \(\mathsf{A}\) de l’hexagone \(\mathsf{ABCDEF}\) valent 120°.

544-4 – Le problème de Hadwiger-Nelson sous contrainte

« Combien de couleurs sont nécessaires au minimum pour que deux points du plan, séparés par une distance égale à \(1\), soient toujours de couleurs différentes ? » est une question encore non complètement résolue ; même si, depuis 2018, grâce à Aubrey de Grey, on sait que ce nombre est compris entre \(5\) et \(7\).

Plus modestement, on peut se demander ce qu’il advient de la question si on se restreint à un carré unité, intérieur et frontière comprise, au lieu de considérer le plan.