Au fil des problèmes n° 540
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2021

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540 – 1 Un défi niveau Terminale (François Denizou – Villeurbanne)

Un élève a proposé ce petit défi. La difficulté est d’arriver à répondre à la question uniquement avec des outils de Terminale, sinon c’est beaucoup plus facile. Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) vérifiant: \[(\text{e}^{2x}-1)^2 f(x)=4-4\cos\left(\frac{\pi}{2}\,x\right).\] Déterminer la valeur de \(f(0)\).

540 – 2 Une double représentation (Vincent Thill – Migennes)

Trouver tous les nombres premiers \(p<q<r\) tels que \(A=(r-p)(r-q)(q-p)+1\) et \(B=3p+5q\) représentent le même nombre premier.

540 – 3 Curiosité numérique (Michel Lafond  2020)

On calcule \(\dfrac{{1000}}{{998001}}\) et l’on trouve: \[\dfrac{{1000}}{{998001}}={0,001002003004005}\dots{996997999000001002}\dots\]

En y regardant de plus près, les \({2994}\) premières décimales regroupées par \(3\), sont \(001\), \(002\), \(003\), …, \(996\), \(997\), \(999\) c’est-à-dire tous les entiers consécutifs depuis \(001\) jusqu’à \(999\) sauf \(998\). Il y a un truc, lequel ?

540 – 4 Crescendo

1. Robert Ferréol – Paris

   Déterminer les triangles rectangles dont la médiane issue de l’angle droit soit aussi une trisectrice.

2. Djelloul Sebaa

   Dans un triangle isocèle ou équilatéral la bissectrice peut être médiane (au minimum). Par analogie, pour quels triangles une trisectrice peut-elle être une médiane ?

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