Au fil des problèmes n° 543
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2022

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543-1 – Archimède encore (J.P. Friedelmeyer – Osenbach)

Sont donnés trois points \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\) non alignés d’un plan affine euclidien.

1. Démontrer qu’il existe une et une seule parabole \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{A}\) ; \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{C}\)) tangente en \(\mathsf{B}\) à \((\mathsf{AB})\) et en \(\mathsf{C}\) à \((\mathsf{AC})\) (figure 1).

2. On construit les trois paraboles \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{A}\) ; \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{C}\)), \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{B}\) ; \(\mathsf{C}\), \(\mathsf{A}\)), \(\mathscr{P}\)(\(\mathsf{C}\) ; \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\)) où les rôles des points \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\) sont permutés, et qui se coupent deux à deux en trois points \(\mathsf{P}\), \(\mathsf{Q}\) et \(\mathsf{R}\), délimitant sept surfaces curvilignes à l’intérieur du triangle \(\mathsf{ABC}\) (figure 2). Déterminer l’aire de chacune de ces surfaces en fonction de l’aire du triangle \(\mathsf{ABC}\).

543-2 – Un classique revisité (Robert March – Paris)

J’ai décidé de faire deviner l’âge de mes enfants à mes élèves en leur précisant qu’ils avaient entre 2 et 20 ans. J’ai écrit sur un bout de papier la somme des deux âges et sur un autre leur produit. J’ai donné au hasard un papier à Sophie et l’autre à Germain :

Sophie — En tout cas, je suis sûre que j’ai la somme.

Germain — Merci pour le renseignement, mais j’hésite quand même entre plusieurs solutions.

Sophie — Dans ce cas, moi je la connais.

Germain — Alors moi aussi.

Et vous ?

543-3 – Une équation diophantienne (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers relatifs puis dans les entiers naturels : \(\dfrac{a}{b +c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} = 4\)

543-4 – Somme de fractions égyptiennes

Quelles sont les valeurs de l’entier naturel \(n\) telles que la fraction \(\dfrac{4}{n}\) soit la somme de deux inverses d’entiers ?