Au fil des problèmes n° 545
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2023

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545-1 Château d’eau

Le château d’eau Les Pialoux 1 dans la Drôme est un objet géométrique intéressant. On peut le décrire ainsi :
Il s’agit d’une structure d’hyperboloïde à une nappe construite avec des poutres d’acier droites.
Le cercle supérieur est tourné de 90° par rapport au cercle de base.
En l’absence de renseignements supplémentaires, on note d le diamètre de la base circulaire, D le diamètre de la partie supérieure et h la hauteur de la construction (longueurs exprimées en m). Donner alors l’expression du volume total du château d’eau en m³.

545-2 Trouvé sur la toile (Vincent Thill-Migennes)

Soit \(x\), \(y\) et \(z\) trois réels, tous différents de 0, vérifiant \(xy+xz+yz = 0\).
Que vaut \(\dfrac{(x+y)}{z} +\dfrac{(x+z)}{y}+\dfrac{(y+z)}{x}\) ?

545-3 Inspiré par l’exercice 543-1 (Patrick David et Julien Sautier-Cergy)

Soit (ABC) un triangle non aplati d’aire S. Construire à la règle (non graduée) et au compas un triangle équilatéral d’aire S.

545-4 Équarrissage des bois

Dans le corps de l’article Équarrissage (bois) de Wikipédia on peut lire :
« Les arbres sont rarement cylindriques à base circulaire ou à base elliptique, ils approchent cependant plus ou moins ces deux formes ; celle qui présente le plus d’avantages est la forme circulaire parce que le plus grand rectangle qu’on peut inscrire dans une ellipse est toujours moindre que le carré inscrit dans un cercle dont la surface serait la même que celle de l’ellipse. »
Une affirmation à vérifier tout de même !