Au fil des problèmes n° 546
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Juin 2023

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546-1 Un triangle bien élevé

Un triangle à côtés entiers est appelé « bien élevé » si la somme de deux de ses côtés est égale à la somme du troisième côté et de la hauteur relative à ce côté.

• Vérifier que le triangle ci-dessous est bien élevé.
  
• Trouver tous les triangles bien élevés.

546-2 Pour bien commencer l’année

Montrer que \(\dfrac{(2022^2)!}{(2022!)^{2023}}\) est un entier.

546-3 Une extension de l’inégalité de Nesbitt

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels strictement positifs, montrer l’inégalité :
\(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\geqslant \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \cdotp\)

546-4 Heptasection d’un triangle (Jacques Chayé – Poitiers)

ABC est un triangle quelconque.

• M est le barycentre de (B,2) et (C,1).
• N est le barycentre de (C,2) et (A,1).
• P est le barycentre de (A,2) et (B,1).
• Les droites (AM) et (BN) se coupent en I.
• Les droites (BN) et (CP) se coupent en J.
• Les droites (CP) et (AM) se coupent en K.

Il n’est pas trop compliqué d’établir que l’aire du triangle IJK est égale au septième de l’aire du triangle ABC. Mais peut-on se passer de la géométrie analytique pour parvenir au résultat ?